Springen naar inhoud

Bewijs uit het ongerijmde



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 16:16

Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> R die continu is in een punt a ∈ A. Veronderstel dat f(a) > 0. Dan bestaat er een T > 0 zodat f(x) > 0 voor alle x ∈ B(a,T)∩A.

De opgave vraagt mij om dit te bewijzen a.d.h.v. het omgerijmde.

Bewijs uit het ongerijmde:

Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> R die continu is in een punt a ∈ A. Veronderstel dat f(a) > 0.

We beweren dat er geen T > 0 bestaat zodat zodat f(x) > 0 voor alle x ∈ B(a,T)∩A.
We weten dat we |Xk - a| kleiner kunnen krijgen dan T en dat we dus ook
|f(Xk) - f(a)| kleiner kunnen krijgen dan T

Bijgevolg is de volgende uitspraak equivalent:

f(Xk) - f(a) < T
-f(Xk) + f(a) < T

f(a) - T < f(Xk) < f(a) + T

Omdat f(a) > 0 weten we ook dat:

f(a) > (f(a) / 2) > 0

Wanneer we nu T gelijk nemen aan (f(a) / 2) en deze in (1) brengen krijgen we:

f(a) - (f(a) / 2) < f(Xk) < f(a) + (f(a) / 2)
0 < (f(a) / 2) < f(Xk) < (3f(a) / 2)

Waardoor we een contradictie hebben verkregen met de veronderstelling dat hiervoor geen T zou bestaan. Waardoor het bovenstaande bewezen is!

Ik weet dat er een makkelijker bewijs is om dit te bewijzen, maar de opgave vroeg om een alternatieve bewijs methode. Ik vraag mij nu echter af of dit bewijs klopt en effectief een bewijs uit het ongerijmde is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 21:24

Wat is B?
Quitters never win and winners never quit.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 21:54

De verzameling [a - T, a + T], alle zo interpreteer ik het toch. Zo staat het letterlijk in de propositie. :D

Veranderd door Biesmansss, 25 april 2012 - 21:54

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 22:03

B(a, T) is de bol met middelpunt a en straal T. Je idee klopt wel weer. Maar je verwoordt zaken zoveel ingewikkelder dan ze zijn. Dat komt, denk ik, omdat je voor jezelf niet voldoende ordent wat essentieel is voor je bewijs en wat niet.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 april 2012 - 10:05

B(a, T) is de bol met middelpunt a en straal T. Je idee klopt wel weer. Maar je verwoordt zaken zoveel ingewikkelder dan ze zijn. Dat komt, denk ik, omdat je voor jezelf niet voldoende ordent wat essentieel is voor je bewijs en wat niet.


Klopt want we zitten in Rn.

Dit "We weten dat we |Xk - a| kleiner kunnen krijgen dan T" is bv. niet essentieel ?
Zou u mij kunnen vertellen wat er nog meer niet essentieel is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 april 2012 - 18:38

Dat is bijvoorbeeld inderdaad niet essentieel. Overigens merk ik nu dat je wat stappen overslaat en andere maakt die niet echt nodig zijn.

Je veronderstelt dus dat voor alle T > 0 er een y in B(a, T) bestaat zodat f(y) <= 0. Vervolgens neem je een rij en je toont dat het beeld van die rij strikt positief is. Wie zegt dat y een deel is van die rij? Want zonee, heb je nog geen contradictie. Het is in deze handiger te werken met de epsilon-delta definitie van continuïteit. Ken je die al? Zonee, valt er uiteraard een mouw aan te passen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 april 2012 - 19:18

Dat is bijvoorbeeld inderdaad niet essentieel. Overigens merk ik nu dat je wat stappen overslaat en andere maakt die niet echt nodig zijn.

Je veronderstelt dus dat voor alle T > 0 er een y in B(a, T) bestaat zodat f(y) <= 0. Vervolgens neem je een rij en je toont dat het beeld van die rij strikt positief is. Wie zegt dat y een deel is van die rij? Want zonee, heb je nog geen contradictie. Het is in deze handiger te werken met de epsilon-delta definitie van continuïteit. Ken je die al? Zonee, valt er uiteraard een mouw aan te passen.


T > 0 zodat f(x) > 0 voor alle x ∈ B(a,T)∩A.

En doorsnede A , omdat deze rij continu is in A moeten de elementen hier wel toe behoren; net vanwege deze doorsnede met A. Of zie ik dit verkeerd ?

En bedoel je met de epsilon-delta definitie de volgende propositie:

"Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> Rm en een ∈ A. Volgende uitspraken zijn equivalent:
(1) f is continu in a
(2) (2) ε > 0, ∃ σ > 0, ∀ x A: ||x - a|| < σ => ||f(x) - f(a)|| < ε"

Want het is namelijk deze waarvan de opgave oplegt dat we ze niet mogen gebruiken. :D

Veranderd door Biesmansss, 26 april 2012 - 19:19

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 april 2012 - 19:23

Waar zegt de opgave dat?

En die beperking lost niets op... Je zegt: neem een rij Xk die naar a convergeert. Je weet dan toch helemaal niet dat het element y (het enige waarvan we veronderstellen f(y) <= 0) tot die rij Xk behoort. Dus kun je niets zinnigs besluiten? Vergelijk het hiermee: jij neemt als rij Xk = 1/k en als y 3/4. Je weet nu dat f(Xk) > 0. Maar a priori betekent dat niet dat ook f(y) > 0 zou moeten zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 09:07

Waar zegt de opgave dat?

En die beperking lost niets op... Je zegt: neem een rij Xk die naar a convergeert. Je weet dan toch helemaal niet dat het element y (het enige waarvan we veronderstellen f(y) <= 0) tot die rij Xk behoort. Dus kun je niets zinnigs besluiten? Vergelijk het hiermee: jij neemt als rij Xk = 1/k en als y 3/4. Je weet nu dat f(Xk) > 0. Maar a priori betekent dat niet dat ook f(y) > 0 zou moeten zijn.


De letterlijke opgave had ik er niet op gezet omdat ik er toch vrij zeker van was dat mijn bewijs klopte; maar ik zal ze nu even citeren:

"Geef een alternatief bewijs voor Propositie 4.2.5 dat geen gebruik maakt van Propositie 4.2.4 maar rechtstreeks gebaseerd is op de definitie van continuïteit. Doe dit door een bewijs uit het ongerijmde op te stellen. Tip: laat je inspireren door het bewijs van (1) => (2) van Propositie 4.2.4.

Propositie 4.2.4:

Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> Rm en een ∈ A. Volgende uitspraken zijn equivalent:
(1) f is continu in a
(2) (2) ε > 0, ∃ σ > 0, ∀ x A: ||x - a|| < σ => ||f(x) - f(a)|| < ε"


Op welk element doel je net met 'y' ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 09:19

Het punt is het volgende. Je stelt dat er geen zo'n T bestaat. Met andere woorden: voor elke T bestaat er een y in B(a, T) zodat f(y) <= 0 (dit is dus de y die ik bedoel). Vervolgens kies je een rij Xk die naar a convergeert en bewijs je dat dan f(Xk) > 0 moet gelden. Daaruit besluit je een contradictie. Maar het punt is dat die y niet per se tot je rij Xk moet behoren. Ik zeg niet dat dit superlastig op te lossen is ofzo, maar je moet toch nog wat argumentatie geven (vind ik).

En heb je je laten inspireren door dat bewijs?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 09:55

Ja, ik begrijp wat je bedoelt. Hoe lossen we dit op ?

Ik heb in ieder geval geprobeerd hier inspiratie uit te putten.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:01

Je weet dat vanaf een k0 je Xk dicht genoeg bij a liggen zodat f(Xk) alvast positief is. Duidelijk gaat deze k0 mee bepalen welke T je moet kiezen. Want je kan niets zeggen over de Xk met k kleiner. Akkoord?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 12:16

akkoord.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 17:44

Enig idee hoe je hiermee zelf verder zou kunnen? Volgens mij ga je hiervoor inspiratie moeten/kunnen halen uit het bewijs van die propositie. Daar wil je ook door iets te weten over een rij overgaan naar iets weten over het gedrag van alle punten tussen die rij (wat los gezegd maar daar komt het op neer).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures