Springen naar inhoud

Bewijs i.v.m een continue, injectieve functie over een interval



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 19:15

"Veronderstel dat f: I ⊆ R -> R een continue functie is op een interval I. Veronderstel bovendien dat f injectief is. Toon aan dat f strikt stijgend of strikt dalen is over I.
Tip; Geef een bewijs uit het ongerijmde.
Bijvraagje: Bestaan er injectieve functies f: I ⊆ R -> R op een interval I die niet ofwel strikt stijgend ofwel strikt dalend zijn ?"


Bewijs uit het ongerijmde

We veronderstellen dus dat we een continue functie f: I ⊆ R -> R hebben, die bovendien ook injectief is. We veronderstellen nu dat deze functie niet strikt stijgend of niet strikt dalend is.

Omdat we een continue functie hebben over een gesloten interval, noem het
I = [x1,x2] en stel y1 = f(x1), y2 = f(x2); garandeert de tussenwaardestelling ons dat er voor alle y tussen y1 en y2 een x bestaat. Omdat we veronderstelt hebben dat de functie niet strikt stijgend of niet strikt dalend is, volgt hieruit dat we sowieso minsten 1 y-waarde vinden waarvoor f(x) = f(x') = y. Maar dit is strijdig met het feit dat de functie injectief is; bijgevolg moet de functie strikt stijgend of strikt dalend zijn.

Antwoord op het bijvraagje: Ja die bestaan, maar dan zijn deze niet continu.


Klopt mijn bewijs ? en klopt het antwoord op het bijvraagje ook ?

Dank bij voorbaat!

Veranderd door Biesmansss, 25 april 2012 - 19:19

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 20:14

Je antwoord op beiden klopt. Het bewijs zou ikzelf wel nog net dat exacter maken. Ook moet je uiteraard meer dan 'ja' zeggen op de bijvraag. Kun je een vb geven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 20:25

Je antwoord op beiden klopt. Het bewijs zou ikzelf wel nog net dat exacter maken. Ook moet je uiteraard meer dan 'ja' zeggen op de bijvraag. Kun je een vb geven?


Hoe zou je dit exacter maken ?

Enja ik heb in mijn cursus al wel een schets hiervoor gemaakt.
stel bv. I = [0, 5]

f: f: I ⊆ R -> R: x ->

x (voor x < 3) (1)
4 - '1 / x) ( voor x ≥ 3) (2)

Dan gaat (1) van 0 -> 3 stijgend en (2) van 3.66.. -> 3.8 (dalend)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 april 2012 - 20:40

Dat is toch helemaal geen dalende functie op je tweede deel? Verder moet het niet zo ingewikkeld met 1/x ofzo. Kies gewoon een a in R zodat a - x groter is dan je eerste deel voor alle x. Snap je?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2012 - 21:02

Dat is toch helemaal geen dalende functie op je tweede deel? Verder moet het niet zo ingewikkeld met 1/x ofzo. Kies gewoon een a in R zodat a - x groter is dan je eerste deel voor alle x. Snap je?


Haha, ja dat was der wel naast. Inderdaad bv. 500 - x om maar iets te zeggen.
Bedankt Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 april 2012 - 10:09

Hoe zou u trouwens het bewijs nog exacter maken ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures