Springen naar inhoud

Oefening i.v.m. tussenwaardestelling



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 09:35

"Gebruik de tussenwaardestelling voor continue functies om te argumenteren dat er op elk ogenblik minstens twee plaatsen op de evenaar zijn die diametraal tegenover elkaar liggen en waar de temperatuur precies hetzelfde is (je mag aannemen dat de temperatuur altijd een continue functie van de plaats is)."

Om te beginnen denk ik dat we best bepalen hoe we onze wereldbol plaatsen t.o.v. het gekozen coördinatie stelsel. Dus we kiezen een driedimensionaal assenstelsel, en we plaatsen onze bol met het midden op het midden van het assenstelsel ?

En stellen we een algemene functie voor de plaats op, maar hoe doen we dit het best ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 09:47

Je moet geen functie echt kunnen plakken daarop hoor. Je moet gewoon ergens beginnen. Het is niet zo'n simpele oefening. En omdat ze eigenlijk ook wel zeer interessant is, verplaats ik deze naar Analyse.

Dan in verband met je functie. Ik zal het eerst met een hint proberen. Je hebt dus een functie f die van elke plaats x op de aarde de temperatuur f(x) bepaalt. Je gaat nu een functie F moeten maken die het verschil tussen de temperatuur op plaats x en de temperatuur op de antipodale plaats -x bepaalt. Merk op dat de volgorde van je punten zeer belangrijk is! Een voorbeeldje: stel dat de temperatuur op de noordpool -10 is en op de zuidpool -20. Dan is f(noord) = 10 en f(zuid) = -10. Mee tot hier? Enig idee wat je hiermee kunt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:02

Twee plaatsen op de evenaar... de evenaar is een lijn. Je hebt geen 3 dimensies nodig.

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:19

Je moet geen functie echt kunnen plakken daarop hoor. Je moet gewoon ergens beginnen. Het is niet zo'n simpele oefening. En omdat ze eigenlijk ook wel zeer interessant is, verplaats ik deze naar Analyse.

Dan in verband met je functie. Ik zal het eerst met een hint proberen. Je hebt dus een functie f die van elke plaats x op de aarde de temperatuur f(x) bepaalt. Je gaat nu een functie F moeten maken die het verschil tussen de temperatuur op plaats x en de temperatuur op de antipodale plaats -x bepaalt. Merk op dat de volgorde van je punten zeer belangrijk is! Een voorbeeldje: stel dat de temperatuur op de noordpool -10 is en op de zuidpool -20. Dan is f(noord) = 10 en f(zuid) = -10. Mee tot hier? Enig idee wat je hiermee kunt?


Dus met f(noord) = 10 bedoel je dat dit 10° warmen is t.o.v. zuid (vica versa voor zuid). Dus uiteindelijk moeten we een functie f krijgen waarvoor geldt dat f(x) - f(-x) = 0 ? Iets in deze aard ?

Twee plaatsen op de evenaar... de evenaar is een lijn. Je hebt geen 3 dimensies nodig.


Inderdaad, dan kunnen we gewoon een cirkel nemen met het midden (0,0) en straal 1.
De plaats kunnen we dan beschrijven in functie van cos θ en sin θ. Neem nu het punt x = (cos θ, sin θ) en de antipodale - x = (-cos θ, -sin θ).

Neem nu een functie f:[0, π/2] -> R: f(cos θ, sin θ) - f(-cos θ, -sin θ) = 0

En nu moet ik inzien waarom de tussenwaardestelling garandeert dat dit hier kan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:25

Dus met f(noord) = 10 bedoel je dat dit 10° warmen is t.o.v. zuid (vica versa voor zuid). Dus uiteindelijk moeten we een functie f krijgen waarvoor geldt dat f(x) - f(-x) = 0 ? Iets in deze aard ?

Iets in die aard ja. Merk op dat ik eigenlijk hetzelfde doe als Evilbro uiteindelijk. Alleen iets algemener. Bij mij maakt het pad dat je kiest niet uit.

Wat je dus hebt: een functie f: R³ -> R: x -> f(x) met f(x) de temperatuur op plaats x. Vervolgens definieer je een functie F: R³ -> R: x -> F(x) = f(x) - f(-x). Nu neem je een pad dat loopt van de zuid- (Z) naar de noordpool (N). Ik beweer nu dat als f(Z) niet gelijk is aan f(N), dan is F(Z) of F(N) negatief en het andere positief. Bijgevolg moet er dus een punt y zijn op je pad van Z naar N waarvoor geldt...?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:30

Iets in die aard ja. Merk op dat ik eigenlijk hetzelfde doe als Evilbro uiteindelijk. Alleen iets algemener. Bij mij maakt het pad dat je kiest niet uit.

Wat je dus hebt: een functie f: R³ -> R: x -> f(x) met f(x) de temperatuur op plaats x. Vervolgens definieer je een functie F: R³ -> R: x -> F(x) = f(x) - f(-x). Nu neem je een pad dat loopt van de zuid- (Z) naar de noordpool (N). Ik beweer nu dat als f(Z) niet gelijk is aan f(N), dan is F(Z) of F(N) negatief en het andere positief. Bijgevolg moet er dus een punt y zijn op je pad van Z naar N waarvoor geldt...?


Waarvoor geldt dat F(x) = 0, de tussenwaardestelling garandeert nl. der er minstens 1 nulpunt is. Op dit punt zal dus het verschil tussen f(x) - f(-x) = 0 en hebben ze bijgevolg dezelfde temperatuur.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:34

Inderdaad... Snap je nu ook dat je eigenlijk helemaal geen concrete functies nodig hebt? En het er eigenlijk zelfs niet toe doet of je nu 2, 3, 4 of 1000-dimensionaal werkt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:39

Ja, ik begrijp het helemaal. Het is alleen een beetje raar dat we gewoon mogen stellen dat F(N) en F(Z) verschillen.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 10:45

Want uiteraard mag je dat niet zomaar stellen. Het geval als dat wél dezelfde temperatuur is, moet je ook behandelen. Maar dat is triviaal?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 11:07

Want uiteraard mag je dat niet zomaar stellen. Het geval als dat wél dezelfde temperatuur is, moet je ook behandelen. Maar dat is triviaal?


Ja ik was er net zelf achter gekomen. Als ze hetzelfde zijn is het al voldaan, en anders kunnen we er sowieso vinden waarvoor het voldaan is. Fascinerende methode eigenlijk. Bedankt voor de hulp ! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 11:12

Inderdaad een zeer mooi en fascinerend resultaat. Het kan nog zotter overigens. Maar dat valt nog net buiten je bereik... Het is te zeggen: 1 detail zul je, mocht het je interesseren hoe dat gaat, in vertrouwen moeten aannemen. Het nog zottere is dat je kunt bewijzen dat er op ieder moment antipodale punten zijn (op aarde) waar temperatuur én luchtdruk gelijk zijn.

Het voordeel van de methode die ik je schetste, is dat ze je een opstapje biedt naar het bewijs van dit.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 12:37

Ja, maar dat maakt het wel een pak ingewikkelder ? Dan zit je nl. toch met twee functies die je dan zult moeten verwerken in deze 'nulpunt-functie' ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 12:41

Ja, het valt nog wel mee. Op één detail na. Indien er interesse is, wil ik dat wel eens schetsen hoe dat werkt (en aangeven waar de leap of faith juist zit voor jou). Ik wou het gewoon vermelden om te tonen hoe mooi Wiskunde kan zijn :D.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures