Springen naar inhoud

Oefening i.v.m. een stelling



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 13:28

"Stelling

Zij f:[a, b] -> R een continue functie op een gesloten, begrensd interval [a, b]. Dan is f begrensd, d.w.z. er bestaan m, M ∈ R zodat m ≤ f(x) ≤ M voor alle x ∈ [a, b]. Bovendien bestaat er x0, x1 ∈ [a, b] zodat:

f(x0) = sup{ f(x) | x ∈ [a, b] } en f(x1) = inf{ f(x) | x ∈ [a, b] }"

___________________________________________________________________________

"Illustreer dat elk van de voorwaarden van deze stelling (f moet continu zijn, het interval moet gesloten zijn, het interval moet begrensd zijn) apart nodig zijn opdat de conclusies van de stelling zouden gelden. Doe dit door voorbeelden te geven waarbij telkens slechts één van de voorwaarden niet voldaan is en waarbij minstens één van de conclusies van de stelling niet meer opgaat."

1) Indien f niet continu is

f: R -> R: x |->

1 (als x ≠ 2)
'niet bestaand' (als x = 2)

Neem nu a = 1 en b = 4
We weten nu dat er niet voor alle x ∈ [1, 4] een ft(x) bestaat waarvoor m ≤ f(x) ≤ M ; aangezien x = 2 gewoon weg niet bestaat.

2)

3)

Voor (2) en (3) vraag ik mij eerst en vooral af wat het verschil is tussen een gesloten en een begrensd interval ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2012 - 14:30

1) Indien f niet continu is

f: R -> R: x |->

1 (als x ≠ 2)
'niet bestaand' (als x = 2)


Je kan R niet als domein van f nemen en dan zeggen dat f niet bestaat in 2. Bovendien moet je als domein een gesloten, begrensd interval nemen als je de voorwaarde van continuïteit laat vallen. Je zit dus met

f : [a,b] -> R

met f niet continu op [a,b], dus discontinu in minstens een punt van [a,b]. Kan je een voorbeeld vinden van een dergelijke functie die niet meer begrensd is?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Elrond

    Elrond


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 15:37

Als ik het mij goed herinner betekent het gegeven dat het interval begrensd is, dat de afstand tussen alle 2 punten van dat interval begrensd is.

Veranderd door Elrond, 28 april 2012 - 15:41


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2012 - 15:39

Een interval is niet zozeer begrensd, het is de functie die begrensd is in een interval.


Het gaat hier om beide: het interval moet zelf begrensd zijn (in een van de voorwaarden; R is dat bijvoorbeeld niet), de functie is begrensd (in een van de conclusies) over dat interval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Elrond

    Elrond


  • >25 berichten
  • 75 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 april 2012 - 15:45

Ja, ik was een beetje snel en heb dat dus gewist, maar jij was nog sneller dan ik in mijn wissen :-)

Wat ik niet helemaal begrijp is waarom het interval gesloten en begrensd moet zijn. Zorgt gesloten in R niet altijd voor dat tweede?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 april 2012 - 15:47

R is zelf gesloten (en ook open), maar niet begrensd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 april 2012 - 15:48

Wat ik niet helemaal begrijp is waarom het interval gesloten en begrensd moet zijn. Zorgt gesloten in R niet altijd voor dat tweede?

Wil je er echt uitgebreid op ingaan, stel ik voor een apart topic (in Wiskunde ofzo) te openen. Maar neen, een gesloten interval is niet automatisch begrensd. Zo is LaTeX gesloten voor elke a in R (ondanks de 'vreemde' notatie) maar duidelijk niet begrensd.

Edit: tegelijk gepost dus ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 april 2012 - 14:32

Je kan R niet als domein van f nemen en dan zeggen dat f niet bestaat in 2. Bovendien moet je als domein een gesloten, begrensd interval nemen als je de voorwaarde van continuïteit laat vallen. Je zit dus met

f : [a,b] -> R

met f niet continu op [a,b], dus discontinu in minstens een punt van [a,b]. Kan je een voorbeeld vinden van een dergelijke functie die niet meer begrensd is?


Klopt. Neem nu f: [-2, 2] -> R: x |-> 1 / x, deze functie is discontinu in 0. De linker Lim 1 / x = -oo, de rechter Lim 1 / X = +oo (voor x gaande naar 0). Hierdoor bestaan er geen m, M R zodat m ≤ f(x) ≤ M voor alle x [-2, 2].

2) Neem nu het onbegrensde interval [2, +oo[ en de functie f: [2, -oo[ -> R: x |-> x

Hier bestaat er geen M R zodat f(x) ≤ M voor alle x [2, +oo[.

3) Nu nog een open, maar begrensd interval. Wat moet ik mij hier bij voorstellen ?

Wil je er echt uitgebreid op ingaan, stel ik voor een apart topic (in Wiskunde ofzo) te openen. Maar neen, een gesloten interval is niet automatisch begrensd. Zo is LaTeX

gesloten voor elke a in R (ondanks de 'vreemde' notatie) maar duidelijk niet begrensd.

Edit: tegelijk gepost dus ;).


Inderdaad, en dit is vrij gemakkelijk te bewijzen.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 april 2012 - 14:36

Klopt. Neem nu f: [-2, 2] -> R: x |-> 1 / x, deze functie is discontinu in 0. De linker Lim 1 / x = -oo, de rechter Lim 1 / X = +oo (voor x gaande naar 0). Hierdoor bestaan er geen m, M R zodat m ≤ f(x) ≤ M voor alle x [-2, 2].


Bijna goed, maar deze functie bestaat niet in x = 0 dus het domein kan dan niet [-2,2] zijn... Het domein móet echter een interval zijn, dus ik zou het domein houden; wat doe je met f in 0?

2) Neem nu het onbegrensde interval [2, +oo[ en de functie f: [2, -oo[ -> R: x |-> x

Hier bestaat er geen M R zodat f(x) ≤ M voor alle x [2, +oo[.


Oké.

3) Nu nog een open, maar begrensd interval. Wat moet ik mij hier bij voorstellen ?


Een open interval is van de vorm (a,b), ook wel ]a,b[ genoteerd, dus van x-waarden a < x < b. De functie 1/x die je eerder al gebruikte is hier nuttig, op welk interval bijvoorbeeld?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 april 2012 - 14:56

1) Dit kunnen we eenvoudig oplossen door het volgende te doen:

Neem nu f: [-2, 2] -> R: x |->

1 / x (als x ≠ 0)
2 (als x = 0)

correct ?

3) f: ]0, 2] -> R: x |-> 1 / x

Hier bestaat er geen M R zodat f(x) ≤ M voor alle x ]0, 2]
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 april 2012 - 14:58

1) Dit kunnen we eenvoudig oplossen door het volgende te doen:

Neem nu f: [-2, 2] -> R: x |->

1 / x (als x ≠ 0)
2 (als x = 0)

correct ?


Klopt, je hoefde functie in 0 maar gewoon een waarde toe te kennen en het voorbeeld voldoet.

3) f: ]0, 2] -> R: x |-> 1 / x

Hier bestaat er geen M R zodat f(x) ≤ M voor alle x ]0, 2]


Inderdaad, want 1/x is onbegrensd wanneer x naar 0 gaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 april 2012 - 15:02

Bedankt TD!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 april 2012 - 15:04

Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures