Springen naar inhoud

Vragen over groepshomomorfismen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2012 - 11:12

Beste allemaal,

Stel dat LaTeX een abelse groep is. Dan is de verzameling LaTeX (de verzameling van alle groepshomomorfismen/endomorfismen) gedefinieerd als:
LaTeX .
De operatie puntsgewijze optelling wordt gedefinieerd als LaTeX en de operatie samenstelling als LaTeX .

1) Laat zien dat LaTeX een ring is met 1 voor deze bewerkingen. Wat zijn de 0 en 1 in deze ring?


Om te zien of het een ring is met 1, moet ik de eigenschappen nagaan.

(R1: Additieve groep) De verzameling End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling en het element 0.
Er moeten dus vier voorwaarden bewezen worden:
1. LaTeX
Dus associatief.

2. LaTeX
Dus het eenheidselement is de nulafbeelding.

3. LaTeX
Dus de inverse van f is -f.

4. LaTeX
Dus commutatief.

Dus End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling. Moet ik trouwens nog aantonen dat de nulafbeelding en -f zich in End(G) bevinden?

(R2: Associativiteit)
LaTeX .
Dus associatief ten opzichte van de samenstelling.

(R3: Distributiviteit)
LaTeX
Ik ben niet helemaal zeker over deze stappen wel 'mogen'. Gaat dit goed?
LaTeX
Dus distributief.

Dus End(G) is nu een ring met 0, waarbij 0 de nulafbeelding is?

(R4: Eenheidselement)
LaTeX
Het eenheidselement is dus de identieke afbeelding.

Nu heb ik toch aangetoond dat End(G) een ring is met 1? Hierin is 0 de nulafbeelding en 1 de identieke afbeelding.

2) Waarom is de verzameling van alle functies (niet per se homomorfismen) LaTeX geen ring onder deze bewerkingen?

Het antwoord heeft dus vast iets te maken met de eigenschap dat LaTeX voor homomorfismen, wat hier niet het geval hoeft te zijn. Alleen heb ik dat bij de vorige bewijsvoering volgens mij niet gebruikt, dus ik kan niet zeggen waar dit dan geen ring is.


Alvast bedankt voor hulp!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2012 - 12:34

We zullen best vraag per vraag aanpakken...

Dus End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling. Moet ik trouwens nog aantonen dat de nulafbeelding en -f zich in End(G) bevinden?

Strikt genomen moet je dat inderdaad aantonen... Lukt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2012 - 12:56

End(G) bestaat uit alle endomorfismen. Daarvoor geldt dus dat LaTeX met LaTeX . Voor de nulafbeelding geldt: LaTeX , dus dat is een endomorfisme, dus die zit in End(G).

Voor -f zou ik dan denken: LaTeX en dan loop ik vast.

Veranderd door Fruitschaal, 01 mei 2012 - 12:57


#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2012 - 13:16

Voor -f zou ik dan denken: LaTeX

en dan loop ik vast.

Dat heeft waarschijnlijk te maken met een klassiek probleem voor jou: je vergeet welke regel er op G ligt. Niet vermenigvuldiging maar +. Dus moet het worden...?

Overigens geldt dezelfde opmerking voor je bewijs dat 0 een endomorfisme is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2012 - 14:00

Oh, natuurlijk. Door gewenning lees ik vaak dat er een vermenigvuldiging staat als de operator weg wordt gelaten.
Dan is het dus:
LaTeX en dan is het bewezen?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2012 - 14:20

Dan het volgende: de samenstelling. Je associativiteit gaat helemaal goed (maar daar had je ook niet veel twijfels over). Alleen vind ik notaties als 'f(g)' wel wat vreemd en zou ik ze vermijden. Ivm de distributiviteit: wat denk je er zélf van? Heb je het bijvoorbeeld op wat eenvoudige voorbeelden geprobeerd?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2012 - 17:42

Ik wilde consistent blijven met (f o g)(x) = f(g(x)), maar dat kan ik (f(g)...)(x) beter noteren als f(g(x))...(x)?

Distributiviteit zou ik zo bewijzen, maar de fout zit hem dus zeker in f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x))?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2012 - 17:47

Je noteert beter zo: ((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x)) = f(g(h(x))). Snap je?

En dat is niet fout. Maar je moet snappen waarom het niet fout is. Dat heeft te maken met wat voor functie je f is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2012 - 18:19

Oh, f is natuurlijk een endomorfisme. Dus f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x)), toch?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2012 - 18:23

Inderdaad... Het was gewoon belangrijk dat je begreep waarom dat klopte ;). Overigens zou dit je nu al heel fel moeten helpen bij het tweede deel.

Begrijp je ook waarom het 'beter' is om te noteren zoals ik deed?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2012 - 21:50

Ja, ik kwam sowieso al in de knoop met mijn notatie als er meer termen bijkwamen en dat van jou ziet er ook overzichtelijker uit.
Ik zal morgen of overmorgen naar het tweede deel bekijken. Alvast bedankt :)

#12

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2012 - 20:34

Het tweede deel is inderdaad simpel (denk ik dan tenminste :P)
Aangezien het geen homomorfismes hoeven te zijn, geldt niet altijd f(xy) = f(x)f(y). Dus f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x)) geldt niet altijd en dus is het niet distributief en dus geen ring.

Klopt deze redenatie?

#13

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2012 - 20:54

3) Laat zien dat LaTeX een commutatieve ring met 1 is.
End(Z) bestaat dus uit alle endomorfismen Z -> Z met de optelling en samenstelling.
R1) tot en met R4) worden op dezelfde manier bewezen als in 1. Het lijkt me een beetje onnodig om dat weer volledig te bewijzen (als ik het inlever doe ik het natuurlijk wel).

(R5: Commutativiteit) Voor alle LaTeX moet gelden LaTeX .
Oké, nu moet ik dus van een eigenschap van End(Z) gebruik maken. Ik denk dat LaTeX .

LaTeX . Dus LaTeX .
LaTeX . Dus LaTeX .

Maar het lijkt me nu nogal kort door de bocht om dan te zeggen dat het commutatief is. Wat zie ik over het hoofd?

Veranderd door Fruitschaal, 06 mei 2012 - 20:57


#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 mei 2012 - 21:43

Ik zou bij je vraag 2 nog een zaak willen opmerken: merk op dat het belangrijk is in welke volgorde je die distributiviteit opschrijft; aan de andere is namelijk wťl voldaan.

Voor 3: kijk eens of je iets kunt zeggen over f(z) in functie van f(1).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2012 - 21:54

Klopt ja, aan LaTeX is wel voldoen, doordat dat gebruikt maakt van de definitie van de optelling. Maar omdat die eerste manier niet geldt, geldt de gehele distributiviteit toch niet?
Stel f(1) = 4 en g(1) = 2 (zomaar een voorbeeld). Dan krijg ik:
LaTeX
LaTeX .
Dus dan zou moeten gelden dat f(2) = g(4), maar daarmee kom ik niet echt verder toch?

Veranderd door Fruitschaal, 06 mei 2012 - 21:55







Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures