Beste allemaal,
Stel dat \((G, +)\)
een abelse groep is. Dan is de verzameling
\(\text{End}(G)\)
(de verzameling van alle groepshomomorfismen/endomorfismen) gedefinieerd als:
\(\text{End}(G) = \{f : G \rightarrow G : f \text{is een groepshomomorfisme}\}\)
.
De operatie puntsgewijze optelling wordt gedefinieerd als
\((f + g)(x) = f(x) + g(x), f, g \in \text{End}(G)\)
en de operatie samenstelling als
\((f \circ g)(x) = f(g(x)), f, g \in \text{End}(G)\)
.
1) Laat zien dat
\(\text{End}(G)\)
een ring is met 1 voor deze bewerkingen. Wat zijn de 0 en 1 in deze ring?[/b]
Om te zien of het een ring is met 1, moet ik de eigenschappen nagaan.
(R1: Additieve groep) De verzameling End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling en het element 0.
Er moeten dus vier voorwaarden bewezen worden:
1.
\(f(x) + (g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) = (f + g)(x) + h(x)\)
Dus associatief.
2.
\((f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) = 0(x) + f(x) = (0 + f)(x)\)
Dus het eenheidselement is de nulafbeelding.
3.
\((f + -f)(x) = f(x) + -f(x) = 0(x) = -f(x) + f(x) = (-f + f)(x)\)
Dus de inverse van f is -f.
4.
\((f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)\)
Dus commutatief.
Dus End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling. Moet ik trouwens nog aantonen dat de nulafbeelding en -f zich in End(G) bevinden?
(R2: Associativiteit)
\(((f \circ g) \circ h)(x) = (f(g) \circ h)(x) = f(g(h(x))) = (f \circ g(h))(x) = (f \circ (g \circ h))(x)\)
.
Dus associatief ten opzichte van de samenstelling.
(R3: Distributiviteit)
\((f \circ (g + h))(x) = f((g+h)(x)) = f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x))\)
Ik ben niet helemaal zeker over deze stappen wel 'mogen'. Gaat dit goed?
\(((f + g) \circ h)(x) = (f + g)(h(x)) = f(h(x)) + g(h(x))\)
Dus distributief.
Dus End(G) is nu een ring met 0, waarbij 0 de nulafbeelding is?
(R4: Eenheidselement)
\((f \circ \text{id})(x) = f(\text{id}(x)) = f(x) = \text{id}(f(x)) = (\text{id} \circ f)(x)\)
Het eenheidselement is dus de identieke afbeelding.
Nu heb ik toch aangetoond dat End(G) een ring is met 1? Hierin is 0 de nulafbeelding en 1 de identieke afbeelding.
2) Waarom is de verzameling van alle functies (niet per se homomorfismen) \(G \rightarrow G\)
geen ring onder deze bewerkingen?[/b]
Het antwoord heeft dus vast iets te maken met de eigenschap dat
\(f(x)f(y) = f(xy)\)
voor homomorfismen, wat hier niet het geval hoeft te zijn. Alleen heb ik dat bij de vorige bewijsvoering volgens mij niet gebruikt, dus ik kan niet zeggen waar dit dan geen ring is.
Alvast bedankt voor hulp!