[wiskunde] Vragen over groepshomomorfismen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Vragen over groepshomomorfismen

Beste allemaal,

Stel dat
\((G, +)\)
een abelse groep is. Dan is de verzameling
\(\text{End}(G)\)
(de verzameling van alle groepshomomorfismen/endomorfismen) gedefinieerd als:
\(\text{End}(G) = \{f : G \rightarrow G : f \text{is een groepshomomorfisme}\}\)
.

De operatie puntsgewijze optelling wordt gedefinieerd als
\((f + g)(x) = f(x) + g(x), f, g \in \text{End}(G)\)
en de operatie samenstelling als
\((f \circ g)(x) = f(g(x)), f, g \in \text{End}(G)\)
.

1) Laat zien dat
\(\text{End}(G)\)
een ring is met 1 voor deze bewerkingen. Wat zijn de 0 en 1 in deze ring?[/b]

Om te zien of het een ring is met 1, moet ik de eigenschappen nagaan.

(R1: Additieve groep) De verzameling End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling en het element 0.

Er moeten dus vier voorwaarden bewezen worden:

1.
\(f(x) + (g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) = (f + g)(x) + h(x)\)
Dus associatief.

2.
\((f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) = 0(x) + f(x) = (0 + f)(x)\)
Dus het eenheidselement is de nulafbeelding.

3.
\((f + -f)(x) = f(x) + -f(x) = 0(x) = -f(x) + f(x) = (-f + f)(x)\)
Dus de inverse van f is -f.

4.
\((f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)\)
Dus commutatief.

Dus End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling. Moet ik trouwens nog aantonen dat de nulafbeelding en -f zich in End(G) bevinden?

(R2: Associativiteit)
\(((f \circ g) \circ h)(x) = (f(g) \circ h)(x) = f(g(h(x))) = (f \circ g(h))(x) = (f \circ (g \circ h))(x)\)
.

Dus associatief ten opzichte van de samenstelling.

(R3: Distributiviteit)
\((f \circ (g + h))(x) = f((g+h)(x)) = f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x))\)
Ik ben niet helemaal zeker over deze stappen wel 'mogen'. Gaat dit goed?
\(((f + g) \circ h)(x) = (f + g)(h(x)) = f(h(x)) + g(h(x))\)
Dus distributief.

Dus End(G) is nu een ring met 0, waarbij 0 de nulafbeelding is?

(R4: Eenheidselement)
\((f \circ \text{id})(x) = f(\text{id}(x)) = f(x) = \text{id}(f(x)) = (\text{id} \circ f)(x)\)
Het eenheidselement is dus de identieke afbeelding.

Nu heb ik toch aangetoond dat End(G) een ring is met 1? Hierin is 0 de nulafbeelding en 1 de identieke afbeelding.

2) Waarom is de verzameling van alle functies (niet per se homomorfismen)
\(G \rightarrow G\)
geen ring onder deze bewerkingen?[/b]

Het antwoord heeft dus vast iets te maken met de eigenschap dat
\(f(x)f(y) = f(xy)\)
voor homomorfismen, wat hier niet het geval hoeft te zijn. Alleen heb ik dat bij de vorige bewijsvoering volgens mij niet gebruikt, dus ik kan niet zeggen waar dit dan geen ring is.

Alvast bedankt voor hulp!

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Vragen over groepshomomorfismen

We zullen best vraag per vraag aanpakken...
Fruitschaal schreef: di 01 mei 2012, 12:12
Dus End(G) is een abelse groep m.b.t. de optelling. Moet ik trouwens nog aantonen dat de nulafbeelding en -f zich in End(G) bevinden?
Strikt genomen moet je dat inderdaad aantonen... Lukt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

End(G) bestaat uit alle endomorfismen. Daarvoor geldt dus dat
\(f(x)f(y) = f(xy)\)
met
\(x, y \in G\)
. Voor de nulafbeelding geldt:
\(0(x)0(y) = 0*0 = 0 = 0(xy)\)
, dus dat is een endomorfisme, dus die zit in End(G).

Voor -f zou ik dan denken:
\(-f(x)*-f(y) = f(x)f(y) = f(xy)\)
en dan loop ik vast.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Fruitschaal schreef: di 01 mei 2012, 13:56
Voor -f zou ik dan denken:
\(-f(x)*-f(y) = f(x)f(y) = f(xy)\)
en dan loop ik vast.
Dat heeft waarschijnlijk te maken met een klassiek probleem voor jou: je vergeet welke regel er op G ligt. Niet vermenigvuldiging maar +. Dus moet het worden...?

Overigens geldt dezelfde opmerking voor je bewijs dat 0 een endomorfisme is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Oh, natuurlijk. Door gewenning lees ik vaak dat er een vermenigvuldiging staat als de operator weg wordt gelaten.

Dan is het dus:
\(-f(x) + -f(y) = -(f(x) + f(y)) = -f(xy)\)
en dan is het bewezen?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Dan het volgende: de samenstelling. Je associativiteit gaat helemaal goed (maar daar had je ook niet veel twijfels over). Alleen vind ik notaties als 'f(g)' wel wat vreemd en zou ik ze vermijden. Ivm de distributiviteit: wat denk je er zélf van? Heb je het bijvoorbeeld op wat eenvoudige voorbeelden geprobeerd?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Ik wilde consistent blijven met (f o g)(x) = f(g(x)), maar dat kan ik (f(g)...)(x) beter noteren als f(g(x))...(x)?

Distributiviteit zou ik zo bewijzen, maar de fout zit hem dus zeker in f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x))?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Je noteert beter zo: ((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x)) = f(g(h(x))). Snap je?

En dat is niet fout. Maar je moet snappen waarom het niet fout is. Dat heeft te maken met wat voor functie je f is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Oh, f is natuurlijk een endomorfisme. Dus f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x)), toch?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Inderdaad... Het was gewoon belangrijk dat je begreep waarom dat klopte ;) . Overigens zou dit je nu al heel fel moeten helpen bij het tweede deel.

Begrijp je ook waarom het 'beter' is om te noteren zoals ik deed?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Ja, ik kwam sowieso al in de knoop met mijn notatie als er meer termen bijkwamen en dat van jou ziet er ook overzichtelijker uit.

Ik zal morgen of overmorgen naar het tweede deel bekijken. Alvast bedankt :)

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Het tweede deel is inderdaad simpel (denk ik dan tenminste :P )

Aangezien het geen homomorfismes hoeven te zijn, geldt niet altijd f(xy) = f(x)f(y). Dus f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x)) geldt niet altijd en dus is het niet distributief en dus geen ring.

Klopt deze redenatie?

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

3) Laat zien dat
\(\text{End}(\mathbb{Z})\)
een commutatieve ring met 1 is.[/b]

End(Z) bestaat dus uit alle endomorfismen Z -> Z met de optelling en samenstelling.

R1) tot en met R4) worden op dezelfde manier bewezen als in 1. Het lijkt me een beetje onnodig om dat weer volledig te bewijzen (als ik het inlever doe ik het natuurlijk wel).

(R5: Commutativiteit) Voor alle
\(f, g \in \text{End}(\mathbb{Z})\)
moet gelden
\((f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)\)
.[/i]

Oké, nu moet ik dus van een eigenschap van End(Z) gebruik maken. Ik denk dat
\(x \in \mathbb{Z}\text{, dan } f(x) \in \mathbb{Z}\)
.
\((f \circ g)(x) = f(g(x)), g(x) \in \mathbb{Z}\)
. Dus
\(f(g(x)) \in \mathbb{Z}\)
.
\((g \circ f)(x) = g(f(x)), f(x) \in \mathbb{Z}\)
. Dus
\(g(f(x)) \in \mathbb{Z}\)
.

Maar het lijkt me nu nogal kort door de bocht om dan te zeggen dat het commutatief is. Wat zie ik over het hoofd?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Ik zou bij je vraag 2 nog een zaak willen opmerken: merk op dat het belangrijk is in welke volgorde je die distributiviteit opschrijft; aan de andere is namelijk wél voldaan.

Voor 3: kijk eens of je iets kunt zeggen over f(z) in functie van f(1).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Vragen over groepshomomorfismen

Klopt ja, aan
\([/color] ((f + g) \circ h)(x) = (f + g)(h(x)) = f(h(x)) + g(h(x)) [color=#AA0000]\)
[/color] is wel voldoen, doordat dat gebruikt maakt van de definitie van de optelling. Maar omdat die eerste manier niet geldt, geldt de gehele distributiviteit toch niet?

Stel f(1) = 4 en g(1) = 2 (zomaar een voorbeeld). Dan krijg ik:
\((f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(2)\)
\((g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(4)\)
.

Dus dan zou moeten gelden dat f(2) = g(4), maar daarmee kom ik niet echt verder toch?

Reageer