Ik heb dus een probleem met de gehele vraagstelling.
"(a) Een deelverzameling in A ⊆ Rn wordt convex genoemd als voor elk stel punten x,y ∈ A geldt dat het lijnstuk dat x met y verbindt, helemaal in A ligt, dus als
∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0, 1]: (1 - t)x + ty ∈ A
Ga na dat een interval in R convex is. Geef ook een voorbeeld van een niet convex deel van R. Teken een aantal deelverzamelingen van R2 die convex zijn en geef ook een aantal tegenvoorbeelden.
(b) Beschouw nu een continue functie f: A ⊆ Rn -> R gedefinieerd op een convex deel A van Rn. Veronderstel dat v,w ∈ R twee waarden zijn die f aanneemt op A, d.w.z. dat er een x ∈ A bestaat waarvoor f(x) = v en een y ∈ A waarvoor f(y) = w. Toon nu aan door gebruik te maken van de tussenwaardestelling dat f elke waarde tussen v en w minstens één maal aanneemt, dus dat er voor elke u tussen v en w minstens één z ∈ A bestaat waarvoor f(z) =u.
Tip: als je niet onmiddellijk ziet hoe je dit kan aanpakken, denk dan even aan volgende concrete situatie. Veronderstel dat n = 2 en dat f de hoogt van een glooiend heuvellandschap als functie van de plaats beschrijft. Veronderstel dat er een punt in het landschap is dat op 250m hoogte ligt en een ander punt op 100m. Hoe kan je dan bijvoorbeeld argumenteren dat er minstens één punt is waar de hoogte 172m is. Waar (t.o.v. de eerste twee punten) ga je sowieso zo'n punt moeten aantreffen ?"
Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Drieske schreef: ↑di 01 mei 2012, 14:56
En wàt is je probleem bij de vraagstelling? Laten we bij a) beginnen. Wat snap je niet aan de vraag? Snap je het begrip "convex"?
In woorden, ja; in symbolen vind ik het persoonlijk wat vager.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
De symbolen formaliseren gewoon de woorden hoor. Wat daar staat is dit: eender welke x en y ik kies, een punt van de vorm (1-t)x + ty (met t in [0, 1])(dit is een punt op de rechte tussen x en y) behoort ook tot A. Als je in dat punt t=0 invult, zit je in x en in t=1, zit je in y. Het is dus (visueel) een rechte die op 1 seconde van x naar y loopt.
Ah juist, nu begrijp ik de definitie in symbolen ook. Het verwarde me eerst gewoon een beetje dat ze daar werkten met de verzameling [0, 1].
Nu, hoe ga je na dat een interval in R convex is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Ik help je op weg. Zij (a, b) het interval dat je beschouwt (alle andere mogelijkheden, halfopen, gesloten, etcetera verlopen analoog). Neem nu c, d in (a, b) en stel (zonder verlies van algemeenheid dat c < d. Dan is c = (1 - t) c + t c. Gebruik nu dat c<d.
Drieske schreef: ↑di 01 mei 2012, 16:30
Ik help je op weg. Zij (a, b) het interval dat je beschouwt (alle andere mogelijkheden, halfopen, gesloten, etcetera verlopen analoog). Neem nu c, d in (a, b) en stel (zonder verlies van algemeenheid dat c < d. Dan is c = (1 - t) c + t c. Gebruik nu dat c<d.
Ik zie niet echt hoe ik verder zou moeten
Aangezien c < d geldt dat:
(1 - t) c + t c < (1 - t) d + t d
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
TD schreef: ↑wo 02 mei 2012, 09:50
Klopt maar dat laatste is gewoon d; dus nu staat er weer c < d.
Lukt het niet om daar nog een uitdrukking 'tussen' te krijgen? Kijk ook naar wat je wil verkrijgen.
Ja, je zou daar eventueel nog het volgende tussenkrijgen:
(1 - t) c + t c < (1 - t) c + t d < (1 - t) d + t d
Of zit ik mis ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Biesmansss schreef: ↑di 01 mei 2012, 14:45 "(a) Een deelverzameling in A ⊆ Rn wordt convex genoemd als voor elk stel punten x,y ∈ A geldt dat het lijnstuk dat x met y verbindt, helemaal in A ligt, dus als
∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0, 1]: (1 - t)x + ty∈ A
Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 10:15
Ja, je zou daar eventueel nog het volgende tussenkrijgen:
(1 - t) c + t c < (1 - t) c + t d < (1 - t) d + t d
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Ja, uiteraard is hierdoor aangetoond dat c en d hier helemaal in liggen.
Om dan even verder te gaan op (a):
-Een voorbeeld van een niet convex deel van R: Een singleton {2} ?
- Teken een aantal deelverzamelingen in R2 die convex zijn: Bv. Vierkant, cirkel, ...
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 10:50
Ja, uiteraard is hierdoor aangetoond dat c en d hier helemaal in liggen.
Ik weet niet of je het helemaal door hebt... Hiermee is niet getoond dat c en d in het interval liggen (dat was al zo, want je koos c en d in het interval!) maar dat alle punten op het lijnstuk tussen c en d er óók in liggen; dus dat het interval convex is!
Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 10:50
-Een voorbeeld van een niet convex deel van R: Een singleton {2} ?
Ik kan {2} schrijven als [2,2]... Waren (gesloten) intervallen niet convex?
Probeer het je eventueel meetkundig voor te stellen: teken een reële getallenas.
Biesmansss schreef: ↑wo 02 mei 2012, 10:50
- Teken een aantal deelverzamelingen in R2 die convex zijn: Bv. Vierkant, cirkel, ...
Oké.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Dus {2} is wel convex ? Hoe kan ik dan een deel van R vinden dat niet convex is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Je hebt al bewezen dat intervallen convex zijn, een interval zal dus niet werken.
Zoals ik zei: denk meetkundig. Convex wil zeggen dat je twee punten uit A kan verbinden met een lijnstuk zodat het lijnstuk ook volledig binnen A gelegen is. Voor een interval in R is dat duidelijk; ik kies twee punten (*) in een interval A = [. , .]:
Het lijnstuk dat de punten verbindt (vetgedrukt) ligt ook binnen het interval. Wat voor een deelverzameling van R kan je dan bedenken als je wil dat het niet convex is...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
