Springen naar inhoud

bewijs ophopingspunten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 mei 2012 - 14:55

"Beschouw een niet-lege verzameling A ⊆ R. Toon aan dat een punt a ∈ R een ophopingspunt is van A als en slechts als er in elk open interval dat a bevat, oneindig veel punten van A zitten."

Iemand enig idee hoe hieraan te beginnen ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 mei 2012 - 15:27

Wat is jouw definitie van ophopingspunt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 mei 2012 - 17:15

De term ophopingspunt wordt ook wel verdichtingspunt genoemd

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2012 - 08:13

"Definitie ophopingspunt:
Zij A ⊆ R. We noemen a ∈ R U {+oo, -oo} een ophopingspunt van A als er een rij (Xk)k ∈ N in A bestaat met
Xk ≠ a voor alle K ∈ N. zodat Lim xk = a."
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 mei 2012 - 08:28

Heb je een van de implicaties al geprobeerd?

1) Indien ophopingspunt, dan oneindig veel punten in elk open interval rond a.
2) Indien oneindig veel punten in elk open interval rond a, dan ophopingspunt.

Kan je met 1 beginnen? Er is dan een rij van termen verschillend van a die naar a convergeert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2012 - 08:38

Heb je een van de implicaties al geprobeerd?

1) Indien ophopingspunt, dan oneindig veel punten in elk open interval rond a.
2) Indien oneindig veel punten in elk open interval rond a, dan ophopingspunt.

Kan je met 1 beginnen? Er is dan een rij van termen verschillend van a die naar a convergeert.


Hoe drukken we via een rij uit dat we oneindig veel punten rond a kunnen vinden ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 mei 2012 - 08:46

Elk open interval rond a moet nog een punt verschillend van a bevatten (waardoor trouwens ook oneindig veel); d.w.z. voor alle k>0, moet je een punt (of oneindig veel punten) verschillend van a in (a-k,a+k) vinden.

Maar wat haal je uit de definitie van de rij, convergent naar a?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2012 - 08:54

Elk open interval rond a moet nog een punt verschillend van a bevatten (waardoor trouwens ook oneindig veel); d.w.z. voor alle k>0, moet je een punt (of oneindig veel punten) verschillend van a in (a-k,a+k) vinden.

Maar wat haal je uit de definitie van de rij, convergent naar a?


Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 ∈ N zodat |Xk - a| < ε; voor alle k ≥ k1.

We weten dus dat alle elementen Xk, waarvoor k ≥ k1, tot de verzameling [a - ε, a + ε] behoren. Hieruit volgt dat we dus oneindig veel punten rond a hebben verkregen.


OT: Waarom is in de verzameling [0,2[ '2' ook een ophopingspunt ? Het is duidelijk dat we willekeurig veel rijen in de verzameling kunnen vinden die naar 2 convergeren. Het kan echter wel enkel langs 1 kant, maar dat is dus voldoende om te besluiten dat het een ophopingspunt is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 mei 2012 - 09:01

Kies een willekeurige ε > 0.
Aangezien de Lim Xk = a, bestaat er een k1 ∈ N zodat |Xk - a| < ε; voor alle k ≥ k1.

We weten dus dat alle elementen Xk, waarvoor k ≥ k1, tot de verzameling [a - ε, a + ε] behoren. Hieruit volgt dat we dus oneindig veel punten rond a hebben verkregen.


Je bedoelt (a-ε,a+ε) (het is immers een strikte ongelijkheid). Je zou best wat explicieter het verband leggen met het interval uit mijn vorig bericht, dáárin wil je immers oneindig veel punten vinden. Begrijp je wat ik bedoel? Je kan de definities wel naast elkaar leggen, maar je moet zo op een of andere manier samen gebruiken.

OT: Waarom is in de verzameling [0,2[ '2' ook een ophopingspunt ? Het is duidelijk dat we willekeurig veel rijen in de verzameling kunnen vinden die naar 2 convergeren. Het kan echter wel enkel langs 1 kant, maar dat is dus voldoende om te besluiten dat het een ophopingspunt is ?


Merk op dat de definitie van ophopingspunt a (van een verzameling A) niet vraagt dat a zelf in A moet zitten, enkel dat er een rij in A bestaat die naar a convergeert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2012 - 09:12

Je bedoelt (a-ε,a+ε) (het is immers een strikte ongelijkheid). Je zou best wat explicieter het verband leggen met het interval uit mijn vorig bericht, dáárin wil je immers oneindig veel punten vinden. Begrijp je wat ik bedoel? Je kan de definities wel naast elkaar leggen, maar je moet zo op een of andere manier samen gebruiken.



Merk op dat de definitie van ophopingspunt a (van een verzameling A) niet vraagt dat a zelf in A moet zitten, enkel dat er een rij in A bestaat die naar a convergeert.


Hoe kan ik dit verband nog explicieter leggen ? En voor de rest is, (1) alleszins, al OK dan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 mei 2012 - 09:21

Je wil dat elk open interval rond a oneindig veel punten verschillend van a bevat.

Neem k>0 willekeurig en bekijk (a-k,a+k); hiermee heb je een willekeurig open interval (dus als het hiervoor lukt, heb je het getoond voor elk open...).

Omdat a een ophopingspunt is, convergeert een rij x(n) naar a; d.w.z. dat er voor elke e>0 een N bestaat zodat |x(n)-a|<e voor n>N. Hoe krijg je al de x(n)'en in het vorige interval (a-k,a+k)? Want dát moet je tonen. Herschrijf de (vetgedrukte) ongelijkheid eventueel als een interval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2012 - 09:45

Omdat a een ophopingspunt is, convergeert een rij Xn naar a. Er bestaat voor elke ε > 0 een n1 ∈ N zodat
|Xn - a| < e; voor alle indices n ≥ n1.

|Xn - a|
= a - e < Xn < a + e -> (a - n, a + n)

Hiermee hebben we een willekeurig open interval.

Zo dan ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 mei 2012 - 09:50

Mwah... ;)

Je hebt toch wat last met de logische volgorde van de zaken. Je wil dat elk open interval rond a oneindig veel punten verschillend van a bevat. Neem dus zo'n willekeurig open interval, bv. door een willekeurige k>0 te kiezen en (a-k,a+k) te beschouwen. Bevat elk interval van deze vorm (k willekeurig!) oneindig veel...?

Ja, want er convergeert een rijtje naar a. We kunnen dus voor elke e>0 een N vinden zodat alle x(n) met n>N in (a-e,a+e) zitten en dat zijn er natuurlijk oneindig veel. Maar we willen dat ze in (a-k,a+k) zitten (zie hiervoor!), dus...? Wat mag je kiezen? Dus hoe zou je dat kiezen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2012 - 10:32

Mwah... ;)

Je hebt toch wat last met de logische volgorde van de zaken. Je wil dat elk open interval rond a oneindig veel punten verschillend van a bevat. Neem dus zo'n willekeurig open interval, bv. door een willekeurige k>0 te kiezen en (a-k,a+k) te beschouwen. Bevat elk interval van deze vorm (k willekeurig!) oneindig veel...?

Ja, want er convergeert een rijtje naar a. We kunnen dus voor elke e>0 een N vinden zodat alle x(n) met n>N in (a-e,a+e) zitten en dat zijn er natuurlijk oneindig veel. Maar we willen dat ze in (a-k,a+k) zitten (zie hiervoor!), dus...? Wat mag je kiezen? Dus hoe zou je dat kiezen?


Zou je dan deze epsilon kiezen zodat
0 < e < k ?

Dan is a - k < a - e en a + e < a + k
Bijgevolg zit (a - en a + e) volledig in het interval (a - k, a + k) en van (a - en a + e) weten we dat dit willekeurig veel elementen rond a bevat.

Maar tast deze beperking de 'willekeurigheid' van epsilon niet aan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 mei 2012 - 10:36

Zou je dan deze epsilon kiezen zodat
0 < e < k ?

Dan is a - k < a - e en a + e < a + k
Bijgevolg zit (a - en a + e) volledig in het interval (a - k, a + k) en van (a - en a + e) weten we dat dit willekeurig veel elementen rond a bevat.


Bijgevolg zit (a-e,a+e) volledig binnen (a-k,a+k) zodat dit laatste interval oneindig veel punten... Juist!

Maar tast deze beperking de 'willekeurigheid' van epsilon niet aan ?


Nee; je moet hier immers de convergentie van de rij niet bewijzen, die is (voor deze implicatie, niet in de andere richting) gegeven! Dus aan de definitie is voldoaan: voor elke epsilon... Kies er dus een die in dit bewijs nuttig is, namelijk e < k met k uit dat willekeurig gekozen open interval. De definitie garandeert het bestaan van een N (of n1) zodat (...) voor elke epsilon, dus ook voor deze die ons 'helpt' in het bewijs.

Je moet goed in het oog houden wat je moet bewijzen en waarvan je vertrekt. Voor de andere implicatie keert het om: dan veronderstel je dat elk open interval oneindig veel ... en dan moet je tonen dat er een rij bestaat zodat ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures