Voor x > 1 volgt uit x'(t) = 0 dat x(t) = C met C een constante. Met de beginvoorwaarde volgt dat C = 1, dan is immers ook x(0) = 1. Deze functie geldt voor alle t, maar is wel een constante functie; zie je dat?
Voor 0 < x < 1 heb je een goede oplossing gevonden via scheiden van variabelen, maar voor welke t-waarden geldt die oplossing? Kan je de oplossing 'uitbreiden' naar heel R (dus voor alle t), zodat nog steeds aan de differentiaalvergelijking voldaan is?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
dennisbakhuis schreef: ↑wo 02 mei 2012, 16:42
Ah, uiteraard. Omdat de constante functie niet van t afhangt (lijkt mij duidelijk) is deze geldig voor alle t in R.
Klopt.
dennisbakhuis schreef: ↑wo 02 mei 2012, 16:42
Omdat de functie ook continu hoort te zijn (denk ik) verwacht ik de volgende oplossing:
\(
x(t) = \left\{ \begin{matrix}\mbox 1 & x < 0 \\ \mbox (1-x^2)^\frac{1}{2} & 0 < x \leq 1 \\ \mbox 0 & x > 1 \end{matrix}\right
\)
Dit begrijp ik niet goed, x(t) is toch een functie van t...? Bovendien kan x niet 1 zijn in het geval 'x < 0'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
\(
x(t) = \left\{ \begin{matrix}\mbox 1 & t < 0 \\ \mbox (1-t^2)^\frac{1}{2} & 0 < t \leq 1 \\ \mbox 0 & t > 1 \end{matrix}\right
\)
De oplossing gaat als een constante naar van -inf naar 0. Daarna gaat deze als een cirkelboog naar 0. Vervolgens gaat deze als een constante verder naar +inf.
Dat lijkt me oké, als x tenminste 0 'mag' zijn (in de oorspronkelijke differentiaalvergelijking is er namelijk enkel een voorschrift voor x strikt positief).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
