Springen naar inhoud

Bewijs limiet functie met definitie (rijen)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2012 - 10:55

"Toon aan met behulp van de definitie van een limiet dat Lim x -> 1 (2x + 1) = 3. Als je in je argumentatie beweert dat bepaalde rijen een zekere limiet hebben, moet je ook dat bewijzen met behulp van de definitie van limiet van een rij."

Beschouw de functie:
f: R -> R: x |-> 2x + 1

Merk op dat {1} een ophopingspunt is van R. We tonen nu aan met behulp van de definitie dat:

Lim x -> 1 f(x) = 3

Eerst stellen we vast dat
|2x + 1| = 2.|x| + 1

Beschouw nu een willekeurige rij (Xk) k ∈ N in R die naar 1 convergeert. Uit in blijkt dat:

|f(Xk)| = 2.|Xk| + 1

D.m.v. de rekenregels inverband met limieten weten we dat

Lim (A. Xk) = A Lim Xk
Lim (Xk + Yk) = Lim Xk + Lim Yk

Hieruit volgt dat=

Lim 2.|Xk| + 1 = 2.Lim Xk + 1

We weten dat Lim Xk = 1, de nu kunnen we besluiten dat Lim (f(Xk)) = 3

Waardoor het bovenstaande bewezen is.

Klopt dit bewijs ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 03 mei 2012 - 11:26

Eerst stellen we vast dat
|2x + 1| = 2.|x| + 1

Dit is niet altijd waar, maar wel als x>=0 is en dan is het gebruik van absoluutstrepen natuurlijk overbodig.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2012 - 12:56

Dit is niet altijd waar, maar wel als x>=0 is en dan is het gebruik van absoluutstrepen natuurlijk overbodig.


Klopt. Wel kan ik werken met de eerste driehoeksongelijkheid:
|2x + 1| ≤ |2x| + |1| = 2|x| + 1

Waardoor het vervolg van mijn bewijs behouden blijft.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 mei 2012 - 18:54

Ik begrijp niet goed wat je hier probeert te doen... Waarom gebruik je die absolute waarde?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2012 - 19:01

Ik begrijp niet goed wat je hier probeert te doen... Waarom gebruik je die absolute waarde?


Om dat te kunnen koppelen aan die rij ?
Misschien toch maar eens overnieuw beginnen:

Beschouw de functie:
f: R -> R: x |-> 2x + 1

Merk op dat {1} een ophopingspunt is van R. We tonen nu aan met behulp van de definitie dat:

Lim x -> 1 f(x) = 3


Beschouw nu een willekeurige rij (Xk) k ∈ N in R die naar 1 convergeert. Uit in blijkt dat:

f(Xk) = 2Xk + 1

D.m.v. de rekenregels in verband met limieten weten we dat

Lim (A. Xk) = A Lim Xk
Lim (Xk + Yk) = Lim Xk + Lim Yk

Hieruit volgt dat=

Lim 2.Xk + 1 = 2.Lim Xk + 1

We weten dat Lim Xk = 1, de nu kunnen we besluiten dat Lim (f(Xk)) = 3

Waardoor het bovenstaande bewezen is.

Is dit beter ?
Maar ook nu weer blijft mijn vorige vraag behouden:
We moeten die oefening doen m.b.v. de definitie van een limiet (dus zonder rekenregels); maar hoe kan ik de convergentie van 2|Xk| + 1 bewijzen zonder rekenregels ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 mei 2012 - 19:36

Je mag de rekenregels toch gewoon gebruiken? En ik zie niet echt waarom je plots afkomt met die 2|Xk| + 1. Je wilt toch convergentie van 2 Xk + 1 tonen? Wil je dit zonder de rekenregels doen, gaat dat uiteraard, en vrij vlot. Maar daar heeft die eerste rij niet echt bij te zien.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2012 - 20:18

Je mag de rekenregels toch gewoon gebruiken? En ik zie niet echt waarom je plots afkomt met die 2|Xk| + 1. Je wilt toch convergentie van 2 Xk + 1 tonen? Wil je dit zonder de rekenregels doen, gaat dat uiteraard, en vrij vlot. Maar daar heeft die eerste rij niet echt bij te zien.


Je moet toch aantonen dat Lim f(Xk) = L

Om dit te bewijzen ? Dat is toch exact wat ik die ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 mei 2012 - 20:24

Je kunt de rekenregels gebruiken (zoals in post #5) en dan staat er nergens zo'n absolute waarde. Of je doet het via de definitie. Maar schrijf die definitie eens volledig uit in dit specifieke geval.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2012 - 09:55

"Zij f: a ⊆ R -> R een functie en zij a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A. We noemen een
L ∈ R U { +oo, -oo} de limiet van f in a als voor elke rij (Xk) k ∈ N in A, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, die a als limiet heeft, geldt dat Lim f(Xk) = L"


Deze definitie bedoelt u ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 mei 2012 - 10:00

Ja... Ik veronderstel tenminste dat je deze definitie wilt gebruiken? Schrijf nu eens op wat dat in deze situatie betekent.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 09:57

Misschien eerst ook even de definitie van een ophopingspunt erbij halen:

"Zij A ⊆ R. We noemen a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A als er een rij (Xk) k ∈ N in A bestaat, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, zodat Lim Xk = a"

Dus eigenlijk hebben we bijna altijd een ophopingspunt (als ze tot de verzameling behoren natuurlijk) behalve bij bv. singletons.

"Zij f: a ⊆ R -> R een functie en zij a ∈ R U { +oo, -oo} een ophopingspunt van A. We noemen een
L ∈ R U { +oo, -oo} de limiet van f in a als voor elke rij (Xk) k ∈ N in A, met Xk ≠ a voor alle k ∈ N, die a als limiet heeft, geldt dat Lim f(Xk) = L"


In deze situatie weten we dat 1 een ophopingspunt is; d.m.v. de definitie van een ophopingspunt weten we dus dat er minstens één rij bestaat in het domein dat naar het punt a convergeert. Nu moeten we aantonen dat voor elke rij die we kiezen in dit domein die naar deze a convergeert, de overeenkomstige beeldwaarden naar f(a) convergeren.

Beschouw de functie f: R-> R: x |-> 2x + 1; we moeten aantonen dat Lim x -> 1 (2x + 1) = 3.
Om aan te tonen dat dit het geval is moeten we bewijzen dat f(Xk) naar f(a) = 3 convergeert, voor elke willekeurig rij Xk die naar 1 convergeert.

Kies een willekeurige ε > 0.
Omdat de Lim Xk = 1, weten we dat er een K1 N bestaat zodat |Xk - 1| < ε; voor alle indices k ≥ k1.

We weten dat f(Xk) = 2Xk + 1 en dat f(1) = 3.
Het volstaat dus om aan te tonen dat er een k2 N zodat |f(Xk) - 3| < ε; voor alle indices k ≥ k2.

|f(Xk) - 3| < ε
= |2Xk + 1 - 3| = |2Xk - 2| = |2(Xk - 1)| = 2|Xk - 1| ≤ |Xk - 1| < ε

Waardoor het bovenstaande bewezen is.

Veranderd door Biesmansss, 05 mei 2012 - 10:05

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 10:03

|f(Xk) - 3| < ε
= |2Xk + 1 - 3| = |2Xk - 2| = |2(Xk - 1)| = 2|Xk - 1| ≤ |Xk - 1| < ε

Je was goed begonnen (alleen ga je er wel zeer langdradig over), maar hier ga je zwaar in de fout. 2A <= A zeg jij?

Overigens, zie je nu dat je niets nodig hebt over 2 |Xk| + 1?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 10:30

Je was goed begonnen (alleen ga je er wel zeer langdradig over), maar hier ga je zwaar in de fout. 2A <= A zeg jij?

Overigens, zie je nu dat je niets nodig hebt over 2 |Xk| + 1?


Ja, dat zie ik.
Auw, ja daar heb ik echt niet goed over na gedacht blijkbaar.

Euhm, dan gewoon beargumenteren dat we |Xk - 1| kleiner krijgen dan ε / 2 ?
Dan krijgen we uiteindelijk iets als 2 . (ε / 2) = ε.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 10:35

Dat is wel correct inderdaad. Dat is ook een veel gebruikte 'truc'.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 10:53

Klopt, nog snel even een klein extra vraagje hier (als dat mag natuurlijk :D):

Om aan te tonn dat Lim x -> -oo (3 - 2x) = + 00 maak ik gewoon gebruik van de rekenregels
Lim (Xk + Yk - = Lim Xk + Lim Yk
Lim (A.Xk) = A Lim Xk ( met A R)

De vraag is nu:

Kunnen we dit ook bewijzen door enkel te staven op de definitie van een limiet van een rij ?

Beschouw de functie f: R-> R: x |-> 3 - 2x; we moeten aantonen dat Lim x -> -oo (3 - 2x) = +oo.
Om aan te tonen dat dit het geval is moeten we bewijzen dat f(Xk) naar f(a) = +oo convergeert, voor elke willekeurig rij Xk die naar -oo convergeert.

Kies een willekeurige m R.
Omdat de Lim Xk = -oo, weten we dat er een K1 N bestaat zodat Xk < m; voor alle indices k ≥ k1.

We weten dat f(Xk) = 3 - 2Xk.
Kies een willekeurig M R
Het volstaat dus om aan te tonen dat er een k2 N bestaat zodat f(Xk) > M; voor alle indices k ≥ k2.

Maar hoe moet het nu verder ? Een afschatting maken voor onze keuze van m ? Want als we deze gelijk nemen aan m weten we dat:

M < 3 + 2m ?

Veranderd door Biesmansss, 05 mei 2012 - 10:56

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures