Springen naar inhoud

Limiet nemen van een machtsfunctie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2012 - 15:46

Ik moest controleren of de volgende limiet bestond:

LaTeX

Zelf dacht ik dat deze limiet bestond en dat deze gelijk was aan 0/-1 of dus gewoon 0.

Mijn prof wist me echter te vertellen dat een machtsfunctie gedefinieerd wordt als volgt:

LaTeX
LaTeX

Hieruit kon ik dus concluderen dat de opgegeven limiet toch niet bestond (aangezien de natuurlijke logaritme niet gedefinieerd is voor t kleiner of gelijk aan 0).

Maar nu heb ik het volgende probleem: als ik kijk hoe een machtsfunctie gedefinieerd wordt, zie ik dat voor elke limiet waarbij t naar 0 of naar een negatief getal gaat, de limiet onbestaand is. Dit zou betekenen dat LaTeX ook onbestaand is, wat ik nogal onwaarschijnlijk vind.

Waar zit precies de fout in mijn redenering?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 mei 2012 - 19:02

Ik moest controleren of de volgende limiet bestond:

LaTeX



Zelf dacht ik dat deze limiet bestond en dat deze gelijk was aan 0/-1 of dus gewoon 0.


Volgens mij ook.

Mijn prof wist me echter te vertellen dat een machtsfunctie gedefinieerd wordt als volgt:

LaTeX


LaTeX


Bedoel je in de laatste regel niet het volgende?

LaTeX

Dat is gelijk aan de eerste regel; zie je het verschil met wat jij schreef?

Hieruit kon ik dus concluderen dat de opgegeven limiet toch niet bestond (aangezien de natuurlijke logaritme niet gedefinieerd is voor t kleiner of gelijk aan 0).

Maar nu heb ik het volgende probleem: als ik kijk hoe een machtsfunctie gedefinieerd wordt, zie ik dat voor elke limiet waarbij t naar 0 of naar een negatief getal gaat, de limiet onbestaand is. Dit zou betekenen dat LaTeX

ook onbestaand is, wat ik nogal onwaarschijnlijk vind.

Waar zit precies de fout in mijn redenering?


Ik begrijp niet goed wat je bedoelt. Verwar je functies van de vorm f(x) = xk niet met functies van de vorm f(x) = ax? Deze laatste wordt soms gedefinieerd via ex.ln(a), dat klopt. Dat is dan enkel een zinvolle definitie voor machtsfuncties met een strikt positief grondtal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2012 - 20:01

Volgens mij ook.

Zou je dus denken dat mijn prof een fout gemaakt heeft en dat de limiet dus wel bestaat?

Misschien moet ik ook even de context van de cursus schetsen. Het ging hier om 2de-orde, niet-lineaire differentiaalvergelijkingen (y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0) die we wilden benaderen door middel van een reeksontwikkeling rond een punt. Dit punt kan een normaal punt zijn (dan is er geen probleem), of een singulier punt (dan is er wel een probleem. Dit is zo wanneer p(t) en/of q(t) van je differentiaalvergelijking niet analytisch zijn in die punten). De singuliere punten konden we opsplitsen in reguliere en niet-reguliere punten. Reguliere singuliere punten had je wanneer de limieten LaTeX en LaTeX bestaan, niet-reguliere singuliere punten waren dan deze waarbij één of beide limieten niet bestonden. (Wanneer we reguliere singuliere punten hadden konden we dan de methode van Frobenius toepassen om de DV op te lossen).

Het voorbeeld was het volgende:
LaTeX

Hiervan zijn dus t = 1, -1 en 0 singuliere punten.
Als we nu het geval t = 0 bekijken dan staat in mijn cursus dat dit irregulier is:
LaTeX

Hierdoor was ik dus gaan vragen waarom deze limiet niet zou bestaan, waarna hij me die uitleg ga in verband met de definitie van een machtsfunctie.


Bedoel je in de laatste regel niet het volgende?

LaTeX



Dat is gelijk aan de eerste regel; zie je het verschil met wat jij schreef?

Inderdaad, een nogal elementaire fout hier. Dom van me.

Kan ik ook zeggen dat LaTeX ? Klopt dit dan ook?


Ik begrijp niet goed wat je bedoelt. Verwar je functies van de vorm f(x) = xk niet met functies van de vorm f(x) = ax? Deze laatste wordt soms gedefinieerd via ex.ln(a), dat klopt. Dat is dan enkel een zinvolle definitie voor machtsfuncties met een strikt positief grondtal.

Dit is ook wat ik besefte toen ik thuisgekomen was nadat de prof zijn uitleg had gegeven. Vandaar ook dat ik het hier eens vroeg.
Mijn professor is tevens hoogleraar in de wiskunde, waardoor het me nogal zou verwonderen moest hij werkelijk deze fout maken. Nuja, errare humanum est natuurlijk, maar toch vraag ik me af of wij niet ergens een denkfout maken..

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 mei 2012 - 20:16

Zou je dus denken dat mijn prof een fout gemaakt heeft en dat de limiet dus wel bestaat?

(...)

Dit is ook wat ik besefte toen ik thuisgekomen was nadat de prof zijn uitleg had gegeven. Vandaar ook dat ik het hier eens vroeg.
Mijn professor is tevens hoogleraar in de wiskunde, waardoor het me nogal zou verwonderen moest hij werkelijk deze fout maken. Nuja, errare humanum est natuurlijk, maar toch vraag ik me af of wij niet ergens een denkfout maken..


Nee hoor, als dat zo hoort in je cursus en je professor bevestigt dat, dan zal dat wel kloppen. Dat neemt niet weg dat je volgens mij een functie met voorschrift

LaTeX

op heel R\{1} op een zinvolle manier kan definiëren. Die functie zou dan zelfs continu zijn in 0 en heeft er limiet (gelijk aan functiewaarde) 0.

Iets anders is (-1)x voor x negatief, dan krijg je inderdaad problemen...

Inderdaad, een nogal elementaire fout hier. Dom van me.

Kan ik ook zeggen dat LaTeX

? Klopt dit dan ook?


Dat klopt wel, ja.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2012 - 20:21

Volgende week dinsdag heb ik hem voor de volgende keer. Ik zal hem nog eens wat extra uitleg vragen hieromtrent.

Bedankt voor je hulp alvast!

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 mei 2012 - 20:25

Oké, graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2012 - 12:32

Even updaten: Na relatief lang denken en discussiëren zijn we er uit gekomen.

De limiet LaTeX bestaat wel degelijk niet. De reden hiervoor is zoals ik al aangaf de volgende:

Onze veeltermfunctie/machtsfunctie (zijn quasi-synoniemen als ik wikipedia bekijk. Let op: ik verwar hier niet met exponentiële functies! Alhoewel deze ook op dezelfde manier gedefinieerd kunnen worden.) LaTeX kunnen we ook schrijven als: LaTeX

Als je parameter 'a' een reëel getal is die tevens geen geheel getal is, dan bestaat de limiet voor t gaande naar 0 niet omwille van het feit dat ln(0) niet gedefinieerd is.

Nu vraag je je natuurlijk af waarom de limiet voor t gaande naar 0 van LaTeX wel kan bestaan. De reden hiervoor is de volgende:

LaTeX
Als je hier van de limiet neemt voor t gaande naar 0 bekom je het volgende:

LaTeX

Bij een machtsfunctie waarvan de coëfficiënt niet-geheel is, kan je dit niet doen, omdat bij deze je 'macht' rondom je logaritmische functie blijft staan: LaTeX . Op deze manier kan je dit niet opsplitsen zoals met een gehele macht. Hierdoor kan je dus ook ook niet de limiet nemen van de logaritmische functie, maar moet je gewoon t = 0 invullen, wat dus niet gedefinieerd is voor de logaritmische functie.

Mijn professor zij echter ook wel dat het bij hem op dat moment wat 'ver zat'. Dus als iemand hierbij aanvullingen weet, zeg ze gerust!

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2012 - 14:29

Ik denk niet dat ik helemaal volg wat je hiermee toont of wil tonen.

Begrijp ik het goed dat de conclusie zou zijn dat bijvoorbeeld f(x) = x1/3 geen limiet heeft voor x naar 0 omdat die exponent niet geheel is? :?

Voor het voorbeeld van hierboven: elk reëel getal heeft een unieke derdemachtswortel: die derdemachtswortel is positief voor x positief en negatief voor x negatief. Die functie kan je zonder problemen op heel R definiëren?

Zo is LaTeX een continue functie; en dus bestaat die limiet niet alleen, de limiet is bovendien gelijk aan de functiewaarde f(0) = 0. Maar dat lukt inderdaad niet als je x1/3 definieert als exp(1/3.ln(x)), want dat bestaat enkel voor x > 0. Voor x < 0 zou je echter kunnen zeggen dat je x1/3 definieert als -exp(1/3.ln(-x)); definieer verder f(0) = 0.

Of een andere manier om het in zien resp. in te voeren; definieer het als de (unieke) inverse functie van LaTeX ; die bestaat want g is bijectief.

Maar dat lost de algemene vraag natuurlijk niet op, daarmee heb je immers nog niet elke functie van de vorm xa met a reëel. Je moet bijvoorbeeld ook opletten met rationale exponenten omdat de regel xa/b = (xa)1/b = (x1/b)a in het algemeen niet meer geldt voor x negatief.
Als je x beperkt tot positieve getallen kan dat inderdaad via exp(a.ln(x)). Wiskundigen 'houden' van zo'n definitie omdat die op een elegante manier al die machtsfuncties vastlegt, maar zoals je ziet eist die keuze (en beperking van x tot x>0) wel zijn tol: je 'gooit ook dingen weg' die tóch zinvol kunnen ingevoerd worden.

Dat brengt me terug bij de oorspronkelijke vraag/functie; volgens mij kan je ook die functie zonder problemen op heel R\{1} definiëren, dus:

LaTeX

En ook die functie is continu met limiet in 0 dus niets anders dan f(0) = 0. Als je in je wiskundige opbouw natuurlijk alleen machtsfuncties ta voor t positief hebt ingevoerd ('gedefinieerd'), dan kan je zeggen dat in die context de limiet niet bestaat; met t-1 als grondtal is de functie dan zelfs niet gedefinieerd voor t < 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2012 - 14:57

Oké, ik begrijp je punt volledig en kan er eigenlijk niets tegenin brengen. Mijn prof legde dit mij zo uit, maar verontschuldigde zich wel dat alles wat 'ver zat'.

Maar goed, laten we het eens over een andere boeg gooien. Ik heb in een eerdere post de context van mijn cursus geschetst (een cursus differentiaalvergelijkingen), ik hoop dat je hier (nog) genoeg van weet om het eventueel op deze manier 'op te lossen'.

Bepalen of een singulier punt van je differentiaalvergelijking regulier of irregulier is kan je op twee manieren:De eerste manier heeft er voor gezorgd dat dit topic tot stand is gekomen, de tweede manier had ik nog niet echt aandacht voor gehad.

Als we de tweede manier bekijken, dan is duidelijk dat LaTeX niet analytisch is in t0 (de vierde afgeleide van LaTeX bestaat niet in t = 0)

Op die manier kan je dus weten dat we deze differentiaalvergelijking niet kunnen oplossen via een reeksontwikkeling rond t = 0 (aangezien je voor een reeksontwikkeling alle afgeleiden nodig hebt). Akkoord hiermee?

Nu blijft de vraag natuurlijk nog wel hoe het kan dat 1. de functie niet analytisch is in t = 0 en 2. de limiet in t = 0 toch bestaat. Volgens mijn prof sluiten beiden elkaar uit. (als je functie niet analytisch is in een punt, dan bestaat de limiet daar ook niet en vice versa).

Of gaat mijn prof hier gewoon de mist in?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 mei 2012 - 09:12

Bepalen of een singulier punt van je differentiaalvergelijking regulier of irregulier is kan je op twee manieren:


Ik ben niet overtuigd dat deze twee equivalent zijn; of waren er nog eisen op p en q in het begin? Analytisch zijn is een bijzonder sterke eis; de functie moet dan oneindig vaak afleidbaar zijn in een omgeving van t0. Het feit dat een van die limieten bestaat, lijkt me daarvoor niet voldoende.

Bekijk bijvoorbeeld p(t) = |t| en beschouw t0 = 0. Dan is t.p(t) = t.|t| en die bezit geen tweede afgeleide in 0; t.p(t) is dus niet analytisch in 0. Nochtans bestaat de limiet van t.p(t) = t.|t| voor t naar 0, p is immers continu en heeft dus limiet p(0) = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 mei 2012 - 10:31

Er waren geen verdere eisen op p en q. Beiden zijn gewoon niet-constante coëfficiënten van een differentiaalvergelijking.

Ik ga er dan maar van uit dat mijn prof hier toch de mist in gaat. Ik zal hem verder er geen vragen over stellen en in het vervolg gewoon kijken of p en q analytisch zijn om te bepalen of er een reeksontwikkeling mogelijk is via de methode van Frobenius.

Bedankt voor je kritische kijk TD!

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 mei 2012 - 09:18

Oké, graag gedaan.
Maar zonder de details in je cursus durf ik ook niet te garanderen dat ik hier niets over het hoofd zie...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures