Springen naar inhoud

Bewijs Propositie



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 14:13

Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> Rm (met m > 1). Noteer de componentsfuncties met f1, f2, ..., fm (dus f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)) voor alle x ∈ A). Zij a een ophopingspunt van A (mogelijks +oo of -oo in het geval n = 1) en L = (L1, L2, ...,Lm) ∈ Rm. Dan zijn volgende uitspraken equivalent:

(1) Lim x -> a f(x) = L

(2) Voor alle j = 1, 2, ..., m is Lim x -> a fj(x) = Lj

Iemand enig idee hoe hieraan te beginnen ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 14:15

Begin eens met (1) => (2). Schrijf je gegeven op (in een nuttige vorm) en schrijf het te bewijzen op... En kijk waar dat je al brengt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 14:27

Indien (1) geldt dan weten we dat de rij (f(Xk)) k ∈ N naar f(a) convergeert, we willen nu beargumenteren dat de componentfuncties naar hun overeenkomstige componenten convergeren.

Beschouw hiervoor de volgende ongelijkheid:

|Xj - Lj| ≤ ||Xk - L||

Deze ongelijkheid volgt rechtstreeks uit de definitie van de norm:

||Xk - L|| = √((X1 - L1)2 + (X2 - L2)2 + ... + (Xn - Ln)2)

We weten dat alle termen '(Xj - Lj)2' positief zijn, bijgevolg geldt:

√((Xj - Lj)2 ≤ √((X1 - L1)2 + (X2 - L2)2 + ... + (Xn - Ln)2)


|Xj - Lj| ≤ ||Xk - L||

Waardoor bewezen is dat dat de componentfuncties naar de overeenkomstige componentwaarden convergeren.

Zoiets ?

Veranderd door Biesmansss, 05 mei 2012 - 14:27

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 14:32

Zoiets inderdaad ja :). Als je het verhaal zelf goed aan elkaar krijgt gepraat, is het okee. Overigens ben ik vrij zeker dat je die eigenschap (ivm norm en absolute waarde) al eens bent nagegaan in een eerder topic...

Edit: gevonden
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 14:36

Zoiets inderdaad ja :). Als je het verhaal zelf goed aan elkaar krijgt gepraat, is het okee. Overigens ben ik vrij zeker dat je die eigenschap (ivm norm en absolute waarde) al eens bent nagegaan in een eerder topic...


Daar ben ik zelfs 100% zeker van Dries. :D
Euhm en i.v.m. van (2) => (1) kunnen we eigenlijk werken met:

|Xj - Lj| ≤ |X1 - L1| + |X2 - L2| + ... + |Xj - Lj|

Nu is ook meteen duidelijk waarom men werkt m.b.v. rijen voor de definitie van limieten.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 14:40

Bijna juist... Je bedoelt waarschijnlijk ||Xk - L|| <= |X1 - L1| + |X2 - L2| + ... + |Xj - Lj|. Want dat is wat je daar gaat gebruiken. Maar hier zijn er wel een paar kleine details die het wat moeilijker/technischer maken dan je op het eerste zicht verwacht. Kun je dus dit bewijs toch eens geven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 15:14

We bewijzen eerst dat √(x + y) ≤ √x + √y

We mogen beide leden kwadrateren omdat het beeld uniek is en de waardes strikt positief moeten zijn. Hierdoor blijft de ongelijkheid behouden.

x + y ≤ x + 2√(x.y) + y

Aangezien '2√(x.y)' enkel positief (of 0) kan zijn, is het bovenstaande bewezen.

Wanneer we nu het veralgemenen krijgen we:

√(x1 + x2 + ... + xj) ≤ √(x1 + x2 + ... + xj-1) + √xj

We weten dat:

√(x1 + x2 + ... + xj-1) ≤ √(x1 + x2 + ... + xj-2) + √xj-1

Hieruit volgt dat:

√(x1 + x2 + ... + xj) ≤ √(x1 + x2 + ... + xj-2) + √xj-1 + √xj

Die kunnen we blijven herhalen tot we het volgende bekomen:

√(x1 + x2 + ... + xj) ≤ √x1 + √x2 + ... + √xj

Wat gelijk is aan:

||Xk - L|| <= |X1 - L1| + |X2 - L2| + ... + |Xj - Lj|

Waardoor het bovenstaande bewezen is.

Veronderstel dat (2) geldt. Kies een willekeurig ɛ > . Omdat (2) geldt kunnen we voor alle j ∈ {1, 2, ..., m} een
kj ∈ N vinden zodat |Xj,k - Lj| < ɛ / n voor alle k ≥ kj. Neem nu k0 = max {k1, k2, ..., km}. Kies een willekeurige k ≥ k0. Dan geldt:

||Xk - a|| ≤ |X1,k - L1| + |X2,k - L2| + ... + |Xm,k - Lm| < (ɛ / n) + (ɛ / n) + ... + (ɛ / n) (met m termen) = ɛ

Dit bewijs dus dat f(Xk) naar f(a) convergeert waardoor Lim x -> a f(x) = L.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 15:36

Je bent vrij slordig in het gebruik van je f(.). Deze ontbreekt regelmatig. Het idee is wel okee. Ook met k0 = max{...} etcetera.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 15:43

Je bent vrij slordig in het gebruik van je f(.). Deze ontbreekt regelmatig. Het idee is wel okee. Ook met k0 = max{...} etcetera.


Zou u mij eens willen vertellen waar net deze f( ) ontbreekt ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 15:51

Nou, om te beginnen staat er ||Xk - a||. En ook e/n, met m termen, en dat geeft niet e dus. Zoals ik zei: het idee klopt, maar je moet het correcter opschrijven. Ook met je indices goed opletten. Er staat in de opgave dat f(x) = (f1(x), ..., fm(x)); niet iets à la (f(x1), ...).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 16:25

Nou, om te beginnen staat er ||Xk - a||. En ook e/n, met m termen, en dat geeft niet e dus. Zoals ik zei: het idee klopt, maar je moet het correcter opschrijven. Ook met je indices goed opletten. Er staat in de opgave dat f(x) = (f1(x), ..., fm(x)); niet iets à la (f(x1), ...).


Klopt. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures