Springen naar inhoud

Als f(x) ≤ g(x) -> Lim f(x) ≤ Lim g(x)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 19:00

"Beschouw functies f, g: A ⊆ Rn -> R en een ophopingspunt a van A. Veronderstel dat f(x) ≤ g(x) voor alle x ∈ A en dat Lim a f en Lim a g bestaan in R U { +oo, -oo}. Dan is Lim a f ≤ Lim a g"

Om dit te bewijzen zou ik gebruik maken van een bewijs uit het ongerijmde; we onderscheiden hiervoor 4 gevallen

(1) Lim a f = +oo en Lim a g = -oo
(2) Lim a f = R en Lim a g = R
(3) Lim a f = +oo en Lim a g = R
(4) Lim a f = R en Lim a g = -oo

Bewijs (1)

Lim a f = +oo en Lim a g = -oo

Veronderstel dat (Xk) k ∈ N een willekeurige rij is die naar a convergeert.
Via de definitie van een limiet van een functie weten we dat:

Lim f(Xk) = +oo en Lim g(Xk) = -oo

Kies een willekeurige M ∈ R.
Omdat de Lim f(Xk) = +oo, bestaat er een k1 ∈ R zodat f(Xk) > M; voor alle indices
k ≥ k1.
Omdat Lim g(Xk) = -oo, bestaat er een k2 ∈ R zodat g(Xk) < M; voor alle indices
k ≥ k2.

Neem nu k0 ≥ max{k1, k2}. Kies een willekeurige K ≥ k0 dan geldt:

g(Xk) < M < f(Xk)

Maar dit is strijdig met het gegeven dat f(x) ≤ g(x).

Ik heb een sterk vermoeden dat dit bewijs klopt, maar ik zou dit nog graag even geverifieerd hebben.
Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 19:33

Het klopt, maar kan handiger (en met minder gevallen). Bewijs gewoon dat als lim f(x) = L (met L reëel), dan moet de limiet van g(x) groter zijn dan L. En als lim f(x) = +oo, dan moet de limiet van g(x) ook gelijk zijn aan +oo. Het geval -oo wordt overbodig, want analoog.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2012 - 20:14

Het klopt, maar kan handiger (en met minder gevallen). Bewijs gewoon dat als lim f(x) = L (met L reëel), dan moet de limiet van g(x) groter zijn dan L. En als lim f(x) = +oo, dan moet de limiet van g(x) ook gelijk zijn aan +oo. Het geval -oo wordt overbodig, want analoog.


Klopt. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 mei 2012 - 21:34

Okee :). Je ziet maar welk pad je bewandelt. En bij vragen horen we het wel ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures