[wiskunde] Oefeningen i.v.m limieten van functies
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.201
Oefeningen i.v.m limieten van functies
Bepaal de volgende limiet en vermeld nauwkeurig hoe je de propositie toepast:
1) Lim e( 1 / x) (voor x -> +oo)
2) Lim e(x³) (voor x -> -oo)
1)
f: R0 -> R: x |-> 1 / x
g: R -> R: x |-> ex
f o g: R0 -> R x |-> e( 1 / x)
Lim x -> +oo f = 0
Aangezien 0 ∈ R en ex continu is in 0 geldt:
Limx -> +oo g o f = g (Limx -> +oo f) = 1
2)
f: R -> R: x |-> x3
g: R -> R: x |-> ex
f o g: R -> R x |-> e(x³)
Lim x -> -oo f = -00
Aangezien -oo ∈ R en ex continu is in -oo geldt:
Limx -> -oo g o f = g (Limx -> -oo f) = 0
Klopt dit ?
Dank bij voorbaat!
1) Lim e( 1 / x) (voor x -> +oo)
2) Lim e(x³) (voor x -> -oo)
1)
f: R0 -> R: x |-> 1 / x
g: R -> R: x |-> ex
f o g: R0 -> R x |-> e( 1 / x)
Lim x -> +oo f = 0
Aangezien 0 ∈ R en ex continu is in 0 geldt:
Limx -> +oo g o f = g (Limx -> +oo f) = 1
2)
f: R -> R: x |-> x3
g: R -> R: x |-> ex
f o g: R -> R x |-> e(x³)
Lim x -> -oo f = -00
Aangezien -oo ∈ R en ex continu is in -oo geldt:
Limx -> -oo g o f = g (Limx -> -oo f) = 0
Klopt dit ?
Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
Ziet er correct uit (op een mogelijk detail na, waar ik op terugkom), maar dat hangt natuurlijk een beetje af van de exacte bewoording van die stelling/propositie .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
"Beschouw functies f: A ⊆ Rn -> B ⊆ R en g: B -> R. Zij a een ophopingspunt van A. Veronderstel dat Lim a f bestaat (in R U {+oo, -oo}) en noem die limiet b.
(1) Indien b ∈ B en g continu is in b, dan bestaat lim a g o f en
Lim a g o f = g(Lim a f)
(2) Indien b niet tot B behoort maar wel een ophopingspunt van B is lim b g bestaat (in R U {+oo, -oo}), dan bestaat lim a g o f en
Lim a g o f = Lim b g"
(1) Indien b ∈ B en g continu is in b, dan bestaat lim a g o f en
Lim a g o f = g(Lim a f)
(2) Indien b niet tot B behoort maar wel een ophopingspunt van B is lim b g bestaat (in R U {+oo, -oo}), dan bestaat lim a g o f en
Lim a g o f = Lim b g"
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
Okee . Enige wat ik nu opmerk, is dat je zegt 'daar -oo in R'. Hangt wat af van je definities, maar normaal beschouwt men -oo niet als iets in R. Bijgevolg moet je voor je tweede bewijs een kleine aanpassing doen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
-oo behoort niet tot R, maar is wel een ophopingspunt van R.
Limx -> -oo g o f = Lim b g = 0
Zo dan ?
Limx -> -oo g o f = Lim b g = 0
Zo dan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
Kun je staven dat het een ophopingspunt is (of heb je dat al ergens gezien)? En strikt genomen moet je nu ook nog de limiet van g in b berekenen (of mag je spelen met rekenregels?).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
Staven dat -oo een ophopingspunt is in R:
Het volstaat dus om aan te tonen dat we minstens één rij (Xk) k ∈ N kunnen vinden in R die naar -oo convergeert waarvoor k ≠ -oo (triviaal). Neem nu Xk = -k
Kies een willekeurige m ∈ R.
Er bestaat een k1 ∈ N zodat Xk < m; voor alle indices k ≥ k1.
Hierdoor is bewezen dat -oo een ophopingspunt is van R ?
En voor de limiet van g in b, mogen we dan niet gewoon stellen dat:
Lim x -> -oo ex = f(-oo) = e-oo = 1 / (e+oo) = 0 ? Of is dit te zeer spelen met rekenregels ?
Het volstaat dus om aan te tonen dat we minstens één rij (Xk) k ∈ N kunnen vinden in R die naar -oo convergeert waarvoor k ≠ -oo (triviaal). Neem nu Xk = -k
Kies een willekeurige m ∈ R.
Er bestaat een k1 ∈ N zodat Xk < m; voor alle indices k ≥ k1.
Hierdoor is bewezen dat -oo een ophopingspunt is van R ?
En voor de limiet van g in b, mogen we dan niet gewoon stellen dat:
Lim x -> -oo ex = f(-oo) = e-oo = 1 / (e+oo) = 0 ? Of is dit te zeer spelen met rekenregels ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
Dat is inderdaad iets te zeer spelen met rekenregels (immers is + en -oo eigenlijk gewoon een symbool) . Maar misschien staat die ergens in je cursus (bij eigenschappen van exponentiële). Meest eenvoudig lijkt me gewoon met de definitie.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies
Hoe lijkt u dit eenvoudig te doen met de definitie ?Drieske schreef: ↑zo 06 mei 2012, 12:17
Dat is inderdaad iets te zeer spelen met rekenregels (immers is + en -oo eigenlijk gewoon een symbool) . Maar misschien staat die ergens in je cursus (bij eigenschappen van exponentiële). Meest eenvoudig lijkt me gewoon met de definitie.
Beginnen in de aard van:
Omdat -oo een ophopingspunt is in R, weten we dat f(Xk) naar f(a) convergeert dus
We hebben een willekeurige rij Xk die naar -oo convergeert. Het volstaat dus om aan te tonen dat f(Xk) naar f(a) = 0 convergeert.
|
f(Xk) = e(Xk)
...
Of op een andere manier ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes