[wiskunde] Oefeningen i.v.m limieten van functies

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 05-05-'12, 21:21

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Oefeningen i.v.m limieten van functies

Bepaal de volgende limiet en vermeld nauwkeurig hoe je de propositie toepast:

1) Lim e( 1 / x) (voor x -> +oo)

2) Lim e(x³) (voor x -> -oo)

1)

f: R0 -> R: x |-> 1 / x

g: R -> R: x |-> ex

f o g: R0 -> R x |-> e( 1 / x)

Lim x -> +oo f = 0

Aangezien 0 ∈ R en ex continu is in 0 geldt:

Limx -> +oo g o f = g (Limx -> +oo f) = 1

2)

f: R -> R: x |-> x3

g: R -> R: x |-> ex

f o g: R -> R x |-> e(x³)

Lim x -> -oo f = -00

Aangezien -oo ∈ R en ex continu is in -oo geldt:

Limx -> -oo g o f = g (Limx -> -oo f) = 0

Klopt dit ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 05-05-'12, 22:37

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

Ziet er correct uit (op een mogelijk detail na, waar ik op terugkom), maar dat hangt natuurlijk een beetje af van de exacte bewoording van die stelling/propositie :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-05-'12, 10:11

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

"Beschouw functies f: A ⊆ Rn -> B ⊆ R en g: B -> R. Zij a een ophopingspunt van A. Veronderstel dat Lim a f bestaat (in R U {+oo, -oo}) en noem die limiet b.

(1) Indien b ∈ B en g continu is in b, dan bestaat lim a g o f en

Lim a g o f = g(Lim a f)

(2) Indien b niet tot B behoort maar wel een ophopingspunt van B is lim b g bestaat (in R U {+oo, -oo}), dan bestaat lim a g o f en

Lim a g o f = Lim b g"
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 06-05-'12, 10:46

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

Okee :) . Enige wat ik nu opmerk, is dat je zegt 'daar -oo in R'. Hangt wat af van je definities, maar normaal beschouwt men -oo niet als iets in R. Bijgevolg moet je voor je tweede bewijs een kleine aanpassing doen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-05-'12, 11:30

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

-oo behoort niet tot R, maar is wel een ophopingspunt van R.

Limx -> -oo g o f = Lim b g = 0

Zo dan ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 06-05-'12, 11:44

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

Kun je staven dat het een ophopingspunt is (of heb je dat al ergens gezien)? En strikt genomen moet je nu ook nog de limiet van g in b berekenen (of mag je spelen met rekenregels?).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-05-'12, 12:09

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

Staven dat -oo een ophopingspunt is in R:

Het volstaat dus om aan te tonen dat we minstens één rij (Xk) k ∈ N kunnen vinden in R die naar -oo convergeert waarvoor k ≠ -oo (triviaal). Neem nu Xk = -k

Kies een willekeurige m ∈ R.

Er bestaat een k1 ∈ N zodat Xk < m; voor alle indices k ≥ k1.

Hierdoor is bewezen dat -oo een ophopingspunt is van R ?

En voor de limiet van g in b, mogen we dan niet gewoon stellen dat:

Lim x -> -oo ex = f(-oo) = e-oo = 1 / (e+oo) = 0 ? Of is dit te zeer spelen met rekenregels ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 06-05-'12, 12:17

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

Dat is inderdaad iets te zeer spelen met rekenregels (immers is + en -oo eigenlijk gewoon een symbool) ;) . Maar misschien staat die ergens in je cursus (bij eigenschappen van exponentiële). Meest eenvoudig lijkt me gewoon met de definitie.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 06-05-'12, 15:09

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefeningen i.v.m limieten van functies

Drieske schreef: ↑zo 06 mei 2012, 12:17
Dat is inderdaad iets te zeer spelen met rekenregels (immers is + en -oo eigenlijk gewoon een symbool) ;) . Maar misschien staat die ergens in je cursus (bij eigenschappen van exponentiële). Meest eenvoudig lijkt me gewoon met de definitie.
Hoe lijkt u dit eenvoudig te doen met de definitie ?

Beginnen in de aard van:

Omdat -oo een ophopingspunt is in R, weten we dat f(Xk) naar f(a) convergeert dus

We hebben een willekeurige rij Xk die naar -oo convergeert. Het volstaat dus om aan te tonen dat f(Xk) naar f(a) = 0 convergeert.

|

f(Xk) = e(Xk)

...

Of op een andere manier ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”