Springen naar inhoud

Berekenen van limieten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2012 - 10:57

Bereken volgende limieten. Geef nauwkeurig aan welke eigenshcappen en rekenregels je hierbij gebruikt.

a) Lim x -> 1 (x3 - 1) / (x -1)
= 3

b) Lim x -> +oo (x3 - 1) / (x -1)
= +oo

c) Lim x -> -oo ( x3 - 1) / (x -1)
= -oo

d) Lim x -> +oo (x6 + 5x2 + 1) / (x4 -x6)
= -1

e) Lim x -> -oo (√(4x4 + 1)) / x2
= ?

f) Lim x -> +oo √(9x2 + 1) - 3x
= ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Voor (a) heb ik bv. eerst horner toegepast, waarne ik de functie x2 + x + 1 verkrijgen. Wanneer we hierop de som-rekenregels van limieten toepassen verkrijgen we 3.

Nu vraag ik mij echter af:
Moeten we hier niet werken als:

f1: R -> R x |-> x2 + x + 1
f2 R \ {1} -> R: x |-> (x3 - 1) / (x -1)

1 is een ophopingspunt van zowel R als R \ {1}. Omdat Lim f1 = 3 volgt dat
Lim f2 = 3

Zie ook: link

Ik vraag mij bovendien ook nog af hoe men weer de limiet van (e) en (f) berekent.

Dank bij voorbaat!

Veranderd door Biesmansss, 06 mei 2012 - 10:58

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 mei 2012 - 11:09

De tweede manier is ietsje vollediger. Het lijkt me niet per se nodig. Al moet je dan wel nagaan dat deze functie dezelfde waarde aannemen op een gebied rond het punt 1 (ik denk toch dat je die stelling wilt gebruiken). Als je Hopital kent, kun je zelfs die toepassen (moet je wel de voorwaarden nagaan).

Voor e) (en f)), gebruik je volgend trucje: je hebt iets van de vorm LaTeX , vermenigvuldig nu met LaTeX .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2012 - 11:12

De tweede manier is ietsje vollediger. Het lijkt me niet per se nodig. Al moet je dan wel nagaan dat deze functie dezelfde waarde aannemen op een gebied rond het punt 1 (ik denk toch dat je die stelling wilt gebruiken). Als je Hopital kent, kun je zelfs die toepassen (moet je wel de voorwaarden nagaan).

Voor e) (en f)), gebruik je volgend trucje: je hebt iets van de vorm LaTeX

, vermenigvuldig nu met LaTeX .


Juist, zo doe je dat weer.
L'hopital hebben we nog niet gezien.
Maar je zegt na dat we nog moeten nagaan dat ze effectief dezelfde functie waarden aannemen op een gebied rond het punt 1, hoe doe je dit dan ?

Je zegt ook dat de tweede manier vollediger is, maar als je (x3 - 1) = (x -1)(x2 + x + 1)
en dan de oorspronkelijke functie vervangt door (x2 + x + 1) dan zit je toch eigenlijk met dezelfde functie ? Waarom zou je dan toch die tweede manier moeten gebruiken ? Het is toch exact dezelfde functie maar dan herschreven ? Of zie ik dat verkeerd ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 mei 2012 - 11:15

Tja, als je die stelling wilt toepassen, moeten ze nu eenmaal dezelfde waarde aannemen op dat gebied. Maar dat doe je gewoon door op te merken dat voor x verschillend van 1, je die x-1 kunt schrappen. De methoden zijn dus equivalent, maar bij de ene gebruik je gewoon nog een stelling. En in se is het deze stelling die dat schrappen verantwoordt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2012 - 14:31

Kunnen we dit dan ook exact toepassen bij (b) en © ?
"+oo (-oo) is zowel een ophopingspunt is van R als van R \ {1} en deze functie's vallen samen in +oo (-oo).
Omdat de Lim f1 = +oo (-oo) is ook de Lim f2 = +oo (-oo)."


En hoe zit het nu bij (d) ? Want daar brengen we enkel x6 naar buiten om dit op te lossen, dit moeten we daar toch niet verantwoorden d.m.v. deze stelling, of wel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 mei 2012 - 14:43

Volgens mij kun je bij b) en c) die stelling niet gebruiken. De eerste zin zegt namelijk 'zij a in A'. Voor = en -oo is dat dus niet waar. Maar voor x -> +oo zit je niet met het probleem van delen door 0 en mag je dus sowieso x-1 schrappen in teller en noemer...

En bij d) gebruik je wel een andere stelling/eigenschap.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 mei 2012 - 10:26

Dus:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a)

Lim x -> 1 (x3 - 1) / (x -1)
= 3

Propositie 4.4.3

f1: R -> R x |-> x2 + x + 1
f2 R \ {1} -> R: x |-> (x3 - 1) / (x -1)

1 is een ophopingspunt van zowel R als R \ {1}. Omdat Lim f1 = 3 volgt dat
Lim f2 = 3

Propositie 4.4.6

Lim a (f +g) = Lim a f + Lim a g


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b)

Lim x -> +oo (x3 - 1) / (x -1)
= +oo

Ook hier passen we eerst weer horner toe waardoor we 'x2 + x + 1' verkrijgen, omdat x - 1 niet gelijk is aan 0 in +oo moogen we deze hier laten vallen.


Propositie 4.4.6

Lim a (f +g) = Lim a f + Lim a g

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


c)

Lim x -> -oo (x3 - 1) / (x -1)
= -oo

Ook hier passen we eerst weer horner toe waardoor we 'x2 + x + 1' verkrijgen, omdat x - 1 niet gelijk is aan 0 in -oo moogen we deze hier laten vallen. Uiteindelijk zonderen we ook nog 'x2' af, waardoor we het volgende verkrijgen:

x2 ( 1 + (1 / x) + (1 / x2))
Wanneer we hier de limiet voor x -> -oo op toepassen bekomen we +oo (1 + 0 + 0) = +00

Propositie 4.4.6

Lim a (f +g) = Lim a f + Lim a g

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d)

Lim x -> +oo (x6 + 5x2 + 1) / (x4 -x6)
= -1

We zonderen 'x6' in zowel de teller als de noemer af en delen deze vervolgens weg.

Propositie 4.4.6

Lim a (f +g) = Lim a f + Lim a g
Lim a (f / g) = Lim a f / Lim a g
Lim a (f . g) = Lim a f . Lim a g

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Maar voor (e) en (f) kom ik er toch niet helemaal uit
Die wortel blijft dan uiteindelijk toch in de noemer staan ?

Veranderd door Biesmansss, 07 mei 2012 - 10:41

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 mei 2012 - 12:27

Ik ziet spreken van 'niet gelijk aan 1 in +oo', weer omdat dat geen punt van R is. Verder gebruik je, bijvoorbeeld bij c) toch ook wel de regel: lim(f * g) = limf * limg lijkt me.

Bij de wortels: zonder eens je hoogste macht af en haal ze onder je wortel uit...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 mei 2012 - 12:44

Ik ziet spreken van 'niet gelijk aan 1 in +oo', weer omdat dat geen punt van R is. Verder gebruik je, bijvoorbeeld bij c) toch ook wel de regel: lim(f * g) = limf * limg lijkt me.

Bij de wortels: zonder eens je hoogste macht af en haal ze onder je wortel uit...


Dit moet ik dus gewoon een beetje anders verwoorden bv. 'Omdat (x-1) ≠ 0, wanner x -> +oo'

Dus:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

e)

Lim x -> -oo (√(4x4 + 1)) / x2 = Lim x -> -oo (x2.√(4 + (1/ x4))) / x2 = 2

Propositie 4.4.6

Lim a (f +g) = Lim a f + Lim a g
Lim a (f / g) = Lim a f / Lim a g
Lim a (f . g) = Lim a f . Lim a g

Propositie 4.4.7

Lim a g o f = Lim b g


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f)

Lim x -> +oo √(9x2 + 1) - 3x .[ (√(9x2 + 1) + 3x) / (√(9x2 + 1) + 3x]
= Lim x -> +oo 1 / ((√(9x2 + 1) + 3x)
= Lim x -> +oo 1 / (( 3x.√(1 + (1 / 9x2)) + 3x)
= 0

Propositie 4.4.6

Lim a (f +g) = Lim a f + Lim a g
Lim a (f / g) = Lim a f / Lim a g
Lim a (f . g) = Lim a f . Lim a g

Propositie 4.4.7

Lim a g o f = Lim b g

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 mei 2012 - 21:22

Eigenlijk bij e) nog opmerken dat je in teller en noemer x² moogt schrappen wel... Verder lijkt me dat okee. Al moet je strikt genomen wel nog uitleggen waarom er aan alle voorwaarden is voldaan enzo.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2012 - 08:29

Eigenlijk bij e) nog opmerken dat je in teller en noemer x² moogt schrappen wel... Verder lijkt me dat okee. Al moet je strikt genomen wel nog uitleggen waarom er aan alle voorwaarden is voldaan enzo.


Uitleggen waarom er aan al de voorwaarden is voldaan, dan heb je het toch over Propositie 4.4.7 ?

Veranderd door Biesmansss, 08 mei 2012 - 08:29

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 mei 2012 - 09:01

Bij Propositie 4.4.6 staan waarschijnlijk toch ook voorwaarden? Je moet deze voorwaarden voor mij niet hier allemaal neerzetten en overlopen. Als je dat voor jezelf doet, en jezelf overtuigt is het uiteraard okee.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2012 - 09:07

Bij Propositie 4.4.6 staan waarschijnlijk toch ook voorwaarden? Je moet deze voorwaarden voor mij niet hier allemaal neerzetten en overlopen. Als je dat voor jezelf doet, en jezelf overtuigt is het uiteraard okee.


Ja klopt. :D
Bedankt voor de hulp Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures