Springen naar inhoud

Groep theorie: Bewijs dat vermenigvuldigingstabellen van twee isomorfe groepen hetzelfde zijn


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2012 - 16:35

Bewijs dat als twee groepen G1 en G2 isomorf zijn, ook de vermenigvuldigingstabellen hetzelfde zijn.

Weet iemand hoe je dit moet bewijzen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 mei 2012 - 14:06

Stel je isomorfisme heet f.
En je 2 vermenigvuldigingstafels zijn gegeven.

Voor elke g uit G1 zit er een f(g) in G2.

Vervang nu elke g in je tafel van G1 door f(g) en doe dit voor elke g uit G.

Bekijk nu de rij die oorspronkelijk g was gelabeled, (nu dus f(g)) en de kolom die oorspronkelijk h was gedoopt en nu f(h).

Oorspronkelijk stond daar g*h, dus nu f(g*h). Maar door het isomorfisme is dit gelijk aan f(g*h)=f(g)*f(h), dus in de tabel zien we in rij f(g) kolom f(h) het element f(g)*f(h). M.a.w. wanneer we in de vermenigvuldigingstabel van (G1,*) de elementen vervangen m.b.v. f, krijgen we de vermenigvuldigings tabel van G2. En omdat het isomorfisme een bijectie is zijn we verzekerd van het feit dat er geen herhaalde rijen, kolommen zijn en zodoende geeft het de gehele tabel voor G2.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures