[wiskunde] Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.201
Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
a) Lim x -> +oo x.sin (1 / x)
b) Lim x -> oo (x + sin x) / x
c) Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a)
Lim x -> +oo x.sin (1 / x) = Lim x -> 0 sin (x) / x
Het is niet zo moeilijk om aan te tonen dat Lim x -> 0 sin (x) / x = 1; maar hoe bewijs ik
dat Lim x -> +oo x.sin (1 / x) = Lim x -> 0 sin (x) / x ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b)
Lim x -> oo (x + sin x) / x
We weten dat:
(x - 1) / x ≤ (x + sin x) / x ≤ (x + 1) / x
Lim x -> oo (x - 1) / x = Lim x -> oo (x + 1) / x = Lim x -> oo (x + sin x) / x = 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c)
Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x) = ?
Hoe begin ik hieraan ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dank bij voorbaat!
b) Lim x -> oo (x + sin x) / x
c) Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a)
Lim x -> +oo x.sin (1 / x) = Lim x -> 0 sin (x) / x
Het is niet zo moeilijk om aan te tonen dat Lim x -> 0 sin (x) / x = 1; maar hoe bewijs ik
dat Lim x -> +oo x.sin (1 / x) = Lim x -> 0 sin (x) / x ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b)
Lim x -> oo (x + sin x) / x
We weten dat:
(x - 1) / x ≤ (x + sin x) / x ≤ (x + 1) / x
Lim x -> oo (x - 1) / x = Lim x -> oo (x + 1) / x = Lim x -> oo (x + sin x) / x = 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c)
Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x) = ?
Hoe begin ik hieraan ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 524
Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
Bij a) kan je volgens mij gewoon de substitutie
Dan krijg je
\(x = \frac{1}{u}\)
kiezen.Dan krijg je
\(\lim_{\frac{1}{u} \rightarrow \infty} \frac{1}{u}\sin(1/\frac{1}{u}) = \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u}\)
of bedoel je dit niet?- Berichten: 1.201
Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
Fruitschaal schreef: ↑ma 07 mei 2012, 15:52
Bij a) kan je volgens mij gewoon de substitutie\(x = \frac{1}{u}\)kiezen.
Dan krijg je\(\lim_{\frac{1}{u} \rightarrow \infty} \frac{1}{u}\sin(1/\frac{1}{u}) = \lim_{u \rightarrow 0} \frac{\sin(u)}{u}\)of bedoel je dit niet?
Nee, ik denk dat het inderdaad zo eenvoudig is. Bedankt!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
Sin en cos zijn begrensd, dus deel door x teller en noemer ...Biesmansss schreef: ↑ma 07 mei 2012, 15:24
c)
Lim x -> oo (x + sin x) / (x + cos x) = ?
Hoe begin ik hieraan ?
- Berichten: 1.201
Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
Dus dan krijgen we:
Lim x -> oo ((1 / x) + (sin x / x) / ((1 / x) + (cos x / x))
Maar hoe moet het nu verder ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 524
Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
Dan krijg je niet dat. x gedeeld door x is niet 1/x, maar 1Biesmansss schreef: ↑ma 07 mei 2012, 20:19
Dus dan krijgen we:
Lim x -> oo ((1 / x) + (sin x / x) / ((1 / x) + (cos x / x))
Maar hoe moet het nu verder ?
- Berichten: 1.201
Re: Bereken van limieten (eventueel met Sandwich-theorema)
Klopt, dit kwam waarschijnlijk door mijn slordige notatie hier.Fruitschaal schreef: ↑ma 07 mei 2012, 20:46
Dan krijg je niet dat. x gedeeld door x is niet 1/x, maar 1
En ja, dan is het verder wel eenvoudig
Zowel 'sin x / x' als 'cos x / x' hebben 0 als limiet voor x gaan naar oneindig.
Dus dan krijgen we uiteindelijk 1 als limiet.
Bedankt beiden!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes