Springen naar inhoud

Afgeleide van de inverse



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 mei 2012 - 13:39

"Zij n een oneven natuurlijk getal. Beschouw de functie f: R -> R: x |-> xn. Omdat n oneven is, is dit een bijectie. De inverse functie wordt gegeven door
g: R -> R: y -> y( 1 / n). De functie f is overal afleidbaar en voor x ≠ 0
is f'(x) = nx(n - 1) ≠ 0. Als y ≠ 0 zal g bijgevolg afleidbaar zijn in y en bovendien is


g'(y) = 1 / ( f '(g(y)) ) = 1 / (ny( n - 1 ) / n = (1 / n). y(1 / n) - 1"


Zou iemand mij hier wat meer uitleg over kunnen geven ? Deze oefening komt nl. letterlijk uit mijn cursus. Het is een voorbeeld voor:

"Propositie 5.2.4

Zij f: I ⊆ R -> J ⊆ R een bijectie tussen open intervallen I en J. Zij x ∈ I en veronderstel dat f afleidbaar is in x en dat f '(x) ≠ 0. Dan is de inverse functie f-1: J -> I afleidbaar in f(x) en

(f-1)' (f(x)) = 1 / f '(x)"

Ik snap echter niet goed waarom ze daar beginnen met y.

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 mei 2012 - 13:52

Het is me niet helemaal duidelijk wat je niet snapt. Misschien is het volgende zinnig:
LaTeX
Leidt beide zijdes af naar x (links gebruik je de kettingregel).

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 mei 2012 - 14:09

Het is me niet helemaal duidelijk wat je niet snapt. Misschien is het volgende zinnig:
LaTeX


Leidt beide zijdes af naar x (links gebruik je de kettingregel).


f : R -> R: x |-> xn

g: R -> R: y |-> y1/n

g'(y) = (1/n).y(1/n) - 1

g'(f(x)) = (1/n).xn(1/n) - 1 = 1 / n

f '(x) = nxn - 1

(g o f)' (x) = g'(f(x)) . f'(x) = (1 / n) . nxn - 1 = xn - 1

Volgens mij maak ik hier ergens al een fout ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 mei 2012 - 14:15

Volgens mij maak ik hier ergens al een fout ?

Ja, hier:

g'(f(x)) = (1/n).xn(1/n) - 1 = 1 / n

Dat moet zijn: g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = ... Zie je waarom?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 mei 2012 - 14:20

Ja, hier:

Dat moet zijn: g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = ... Zie je waarom?


Klopt. Omdat je beide zowel (1 / n) als 1 moet vermendigvuldigen met die 'n'.

g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = (1/n).x(1 - n)

akkoord tot hier ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 mei 2012 - 14:30

Ik doelde meer op:
LaTeX
Afleiden:
LaTeX
Kettingregel:
LaTeX
Substitutie van LaTeX :
LaTeX
Delen (dit is de reden voor je "ongelijk aan nul"-voorwaarde):
LaTeX
Andere schrijfwijze:
LaTeX
Substitutie met beginformule:
LaTeX
Substitutie van LaTeX :
LaTeX

Veranderd door EvilBro, 09 mei 2012 - 14:31


#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 mei 2012 - 14:33

akkoord tot hier ?

Ja :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 mei 2012 - 14:52

Ik doelde meer op:
LaTeX


Afleiden:
LaTeX
Kettingregel:
LaTeX
Substitutie van LaTeX :
LaTeX
Delen (dit is de reden voor je "ongelijk aan nul"-voorwaarde):
LaTeX
Andere schrijfwijze:
LaTeX
Substitutie met beginformule:
LaTeX
Substitutie van LaTeX :
LaTeX


Mijn excuses, maar we hanteren in onze cursus volgens mij uw methode niet.
Dus deze helpt mij niet echt verder; toch bedankt!

Ja :).


Dan eindig ik uiteindelijk op x2n ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 mei 2012 - 14:59

Mijn excuses, maar we hanteren in onze cursus volgens mij uw methode niet.

Dat lijkt me onwaarschijnlijk en irrelevant. Wat ik geef is het bewijs van de propositie 5.2.4. Veel simpeler dan ik het geef kan haast niet (je hoeft alleen de kettingregel te kennen). Ik neem toch aan dat je de kettingregel gehad hebt? Dan zou je het bewijs moeten kunnen volgen en is het voorbeeld narekenen slechts een kwestie van zorgvuldig invullen (het kan natuurlijk zijn dat dat het probleem is en dat ik het probleem verkeerd begrepen heb).






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures