[wiskunde] Vraagstuk: kegel

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 09-05-'12, 15:50

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Vraagstuk: kegel

"In een zandgroeve wordt zand gestapeld op een kegelvormige hoop. Via een lipende band wordt bovenaan voortdurend zand bijgestort aan een constant tempo van 10m3 per minuut. De hoogt van de hoop is steeds 3/8 van de diameter van het grondvlak. Hoe snel veranderen de hoogte van de hoop en de straal van het grondvlak van de hoop op het moment dat deze hoop4m hoog is ?"

Dus het volume op moment (1) is:

Vkegel = 119m3

Een minuut later is dit 229m3

We weten via de eerste orde benadering dat:

ΔV(r1) / V(r1) ≈ (V '(r1). r . Δr) / (V(r1) * r)

10 / 119 = (4.79 . Δr) / r

0.0175 = Δr / r

Dus de relatieve verandering van de straal is op moment (1) 0.0175%

Klopt mijn redenering al tot dusver ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 09-05-'12, 17:11

Axioma91

Berichten: 264

Re: Vraagstuk: kegel

Is het de bedoeling een benadering te maken?
Omhoog

Bericht 09-05-'12, 19:48

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Vraagstuk: kegel

Het is de bedoeling om met afgeleiden te werken.

Zie jij een andere methode ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 09-05-'12, 20:49

Axioma91

Berichten: 264

Re: Vraagstuk: kegel

Ja, schrijf
\(V := V(r)\)
. Ken je een formule voor het volume van een kegel? (je kunt dat misschien ook zelf afleiden). Je weet dat de hoogte en de straal en bepaalde verhouding hebben, dus h kun je uit de formule die je krijgt wegwerken.

Als je
\(V\)
hebt gevonden, wat is dan
\(\frac{dV(r)}{dt}\)
? (Bedenk dat r=r(t)) En wat is de volumeverandering volgens de gegevens die je aangereikt krijgt?
Omhoog

Bericht 09-05-'12, 21:01

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.596

Re: Vraagstuk: kegel

Volgens mij moet je
\(\frac{dr}{dt} \)
en
\( \frac{dh}{dt} \)
uitrekenen
Omhoog

Bericht 10-05-'12, 10:02

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Vraagstuk: kegel

Vo = pi.r2 .h / 3

We weten dat er elke minuut 10m3 zand bij het hoorspronkelijke volume komt, dus we kunnen een functie opstellen die het volume weergeeft in functie van de tijd.

V(t) = 10.t

Nu weten we dat

V = pi . r3 / 4

Dus dan kunnen we de functie r opstellen in functie van de tijd, juist ?

pi . r3 / 4 = 10.t

Nu kunnen we r hieruit halen en schrijven in functie van t:

r(t) = 3√(40.t / pi)

Wanneer we dit afleiden bekomen we de snelheid waarmee de straal veranderd in functie van de tijd.

r'(t) = (1/3) .[ 1 / ( 3√( (40.t / pi)2 ))] . (40 / pi)

Om te weten hoesnel de straal verandert op het moment wanneer de hoogt = 4m moeten we eerst uitrekenen op welke t dit is, daarna kunnen we deze hier invullen en hebben we de oplossing:

h = 4

r = 5,33

V(t) = 119 m3 = 10. t => t = 11.9

Wanneer we deze in de afgeleide invullen bekomen we:

r'(11.9) = 0.15 m/s
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 10-05-'12, 19:11

Axioma91

Berichten: 264

Re: Vraagstuk: kegel

Dat ziet er goed uit. Ik heb het niet nagerekend, omdat ik slecht door de notatie heen kan lezen. Misschien een idee om snel even wat latex dingetjes te leren? Dat maakt het typen voor jou een stuk makkelijker en het lezen voor ons :) . Maar dat terzijde; de goede stappen neem je. Niet echt van belang, maar het is handig om met DVs te werken, omdat er dan vanzelf integratieconstanten (beginvoorwaarden) verschijnen, die je anders makkelijk vergeet.
Verborgen inhoud
\(
V(r) = \pi r^3/4
\)
en stellen dat
\(\frac{dV(t)}{dt} = 10m^3 per minuut = \alpha\)
.

Dan
\(\frac{dV(t)}{dt} = \frac{dV}{dr}\frac{dr}{dt} = 3r^2 \frac{\pi}{4}\frac{dr}{dt} \)
en dus
\(\frac{3 \pi r^2}{4}\frac{dr}{dt} = \alpha \)
Als je deze DV oplost, dan zie je dat er ook nog een integratieconstante bijkomt. (Dus hoe hoog je berg is op t_0 bijv.
Omhoog

Bericht 10-05-'12, 19:58

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Vraagstuk: kegel

Als de diameter 3/8 is dan is de straal niet 3/4...
Omhoog

Bericht 10-05-'12, 20:12

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Vraagstuk: kegel

Axioma91 schreef: ↑do 10 mei 2012, 19:11
Dat ziet er goed uit. Ik heb het niet nagerekend, omdat ik slecht door de notatie heen kan lezen. Misschien een idee om snel even wat latex dingetjes te leren? Dat maakt het typen voor jou een stuk makkelijker en het lezen voor ons :) . Maar dat terzijde; de goede stappen neem je. Niet echt van belang, maar het is handig om met DVs te werken, omdat er dan vanzelf integratieconstanten (beginvoorwaarden) verschijnen, die je anders makkelijk vergeet.
Verborgen inhoud
\(
V(r) = \pi r^3/4
\)
en stellen dat
\(\frac{dV(t)}{dt} = 10m^3 per minuut = \alpha\)
.

Dan
\(\frac{dV(t)}{dt} = \frac{dV}{dr}\frac{dr}{dt} = 3r^2 \frac{\pi}{4}\frac{dr}{dt} \)
en dus
\(\frac{3 \pi r^2}{4}\frac{dr}{dt} = \alpha \)
Als je deze DV oplost, dan zie je dat er ook nog een integratieconstante bijkomt. (Dus hoe hoog je berg is op t_0 bijv.

Ja, de latex codes zou ik inderdaad eens moeten bekijken. :D Ik geef je er gelijk in dat DV's overzichtelijker zijn; maar in mijn cursus hanteren ze (tot nu toe toch in ieder geval) deze methode. Dus ik hou me liever aan de methode de cursus.
EvilBro schreef: ↑do 10 mei 2012, 19:58
Als de diameter 3/8 is dan is de straal niet 3/4...
Ik denk dat je het verkeerd gelezen hebt.

Het zit nl. zo:

h = (3/8)d

we weten dat d = 2r

dus h = (3/8).2r = (3/4)r

Zo heb ik het gebruikt. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 10-05-'12, 22:15

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.596

Re: Vraagstuk: kegel

Wat voor waarden krijg je nu voor
\(\frac{dr}{dt} \)
en voor
\(\frac{dh}{dt} \)
Omhoog

Bericht 11-05-'12, 00:14

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.596

Re: Vraagstuk: kegel

\(h=\frac{3}{4}\cdot r \)
\(V=\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot r^3 \)
\(\frac{dV}{dt}=\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \frac{dr^3}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} \)
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{4} \pi 3 r^2 \cdot \frac{dr}{dt} \)
\(r=\frac{16}{3} \)
\(\frac{dr}{dt}=\frac{1}{128 \cdot \pi}=0,002486796 \)
Omhoog

Bericht 11-05-'12, 08:26

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Vraagstuk: kegel

aadkr schreef: ↑vr 11 mei 2012, 00:14
\(h=\frac{3}{4}\cdot r \)
\(V=\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot r^3 \)
\(\frac{dV}{dt}=\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \frac{dr^3}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} \)
\(\frac{1}{6}=\frac{1}{4} \pi 3 r^2 \cdot \frac{dr}{dt} \)
\(r=\frac{16}{3} \)
\(\frac{dr}{dt}=\frac{1}{128 \cdot \pi}=0,002486796 \)


Wij gebruiken in onze cursus een andere notatie van afgeleiden (wat in essentie toch op hetzelfde zou moeten neerkomen); maar mijn uitkomst is verschillend aan de van jou. Ik ben er echter vrij (tot 100 %) zeker van dat mijn uitkomst op deze moment wel klopt.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 11-05-'12, 09:04

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Vraagstuk: kegel

Ik denk dat je het verkeerd gelezen hebt.
Dat weet ik niet, maar ik heb in ieder geval iets omgedraaid...
Wij gebruiken in onze cursus een andere notatie van afgeleiden (wat in essentie toch op hetzelfde zou moeten neerkomen); maar mijn uitkomst is verschillend aan de van jou.
Is dit ook nog het geval als je ervoor zorgt dat de eenheden hetzelfde zijn? Ik vermoed namelijk dat jouw uitkomst in meters per minuut is en die van aadkr in meters per seconde...
Omhoog

Bericht 11-05-'12, 09:19

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Vraagstuk: kegel

EvilBro schreef: ↑vr 11 mei 2012, 09:04
Dat weet ik niet, maar ik heb in ieder geval iets omgedraaid...



Is dit ook nog het geval als je ervoor zorgt dat de eenheden hetzelfde zijn? Ik vermoed namelijk dat jouw uitkomst in meters per minuut is en die van aadkr in meters per seconde...
Klopt, die van mij is inderdaad in m/min (de eenheid staat dus fout in reactie #6). Wanneer we beide 'oplossingen' naar dezelfde eenheid brengen bekomen we hetzelfde. :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 11-05-'12, 19:34

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.596

Re: Vraagstuk: kegel

Bereken nu
\(\frac{dh}{dt} \)
Vertrek vanuit de formule
\(V=\frac{16}{27} \cdot \pi \cdot h^3 \)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”