\(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{a} \\ \mathbf{a}^T & \alpha \end{bmatrix}\)
. Er wordt er gevraagd op de cholesky decompositie te geven in termen van "consituent submatrices". Met "constituent submatrices" bedoelen ze denk ik submatrices en subelementen? Dus een algemene uitdrukking in\(\mathbf{A}\)
, \(\mathbf{a}\)
en \(\alpha\)
?Ik dacht eerst misschien aan een uitdrukking iets als, wat ik vond bij wikipedia.
zou ik alleen nog
\(\mathbf{a}\)
en \(\alpha\)
erin moeten verwerken... wat mij vrij moeilijk lijkt... omdat je (denk ik) in de knoop zit met die matrix \(\mathbf{A}\)
in de linker bovenhoek en je dus algemene termen moet verzinnen voor de grenzen van \(\mathbf{A}\)
, \(\mathbf{a}\)
en dan nog \(\alpha\)
.http://en.wikipedia....lesky_algorithm
Met een beetje speur werk en eigen denk werk kwam ik op het volgende
Als ik
\(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{a} \\ \mathbf{a}^T & \alpha \end{bmatrix}\)
nou verander naar..., horizontaal gespiegeld en verticaal gespiegeld, \(\mathbf{B}' = \mathbf{I}'\mathbf{B}\mathbf{I}'\)
, waar \(\mathbf{I}'\)
de antidiagonale eenheidsmatrix. \(\mathbf{B}' = \begin{bmatrix} \alpha & \mathbf{a}^T \\ \mathbf{a} & \mathbf{A} \end{bmatrix}\)
. Ik geloof dat de decomposities van \(\mathbf{B}'\)
dan gelijkwaardig blijven zolang ik maar dezelfde terugtransformaties weer doe op het antwoord?In iedergeval kan ik in de huidige vorm van
\(\mathbf{B}'\)
veel makkelijker uitdrukken in algemene termen.\(\begin{bmatrix} \alpha & \mathbf{a}^T \\ \mathbf{a} & \mathbf{A} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 \\ \mathbf{l}_{21} & \mathbf{L}_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} l_{11} & \mathbf{l}^T_{21} \\ 0 & \mathbf{L}^T_{22} \end{bmatrix}\)
dan geldt\(l_{11} = \sqrt{\alpha}\)
\(\mathbf{l}_{21} = \frac{1}{l_{11}}\mathbf{a}\)
\(\mathbf{A} - \mathbf{l}_{21}\mathbf{l}^T_{21} = \mathbf{L}_{22}\mathbf{L}^T_{22}\)
Iemand die hier wellicht iets zinnigs over kan zeggen?
