Springen naar inhoud

Lineaire afbeelding



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2012 - 09:16

"Veronderstel dat f: Rn -> Rm een lineaire afbeelding is. Heeft f rond elk punt a ∈ Rn een eerste orde benadering ? Zo ja, wat is die ? Ben je hierdoor verrast ?"

Ik denk dat dit afhangt van de continuïteit van de partiële afgeleiden. Als ze in bepaalde punten niet continu zijn, kunnen we hier geen eerste orde benadering opstellen.

Akkoord ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 mei 2012 - 09:28

Denk er eens wat dieper over na. Te beginnen met: kan jouw situatie zich voordoen? En gewoon op gezond verstand: Wat lijkt je de beste lineaire benadering van een reeds lineaire functie?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2012 - 09:36

Denk er eens wat dieper over na. Te beginnen met: kan jouw situatie zich voordoen? En gewoon op gezond verstand: Wat lijkt je de beste lineaire benadering van een reeds lineaire functie?


Ja, ik was er te snel over gegaan misschien.
Als het een lineaire afbeelding is die continu is, zal de beste lineaire benadering gewoon terug de lineaire afbeelding zijn; dit is niet verrassend.
Maar wat als ze niet continu is ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 mei 2012 - 09:41

Maar wat als ze niet continu is ?

Ook hier weer: kan dat? Denk eens aan de definitie van een lineaire afbeelding (en geef deze ook)...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2012 - 09:50

Lineaire afbeelding.. Dus stel een vlak:
f: R2 -> R: (x,y) |-> x + y

Goh, echt de definitie hiervoor weet ik zo niet direct. Maar kan je bv. niets hebben in de aard van:
f: R2 -> R: (x,y) |->
x + y (als x.y ≠ 0)
0 als (x.y = 0)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 mei 2012 - 09:53

De definitie is nochtans cruciaal: F: Rn -> Rm is een lineaire afbeelding als voor x en y in Rn geldt dat F(x + y) = F(x) + F(y). Helpt dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2012 - 10:10

Aangezien het een lineaire afbeelding is, hebben we sowieso een functie voorschrift in de vorm van
f: Rm -> Rn: (x1, ..., xn) |-> a1x1 + .... + anxn

Dus als we een rij hebben Xk =(X1k,..., XnK) die naar a = (x1, ..., xn) convergeert.. dan moet ook de beeldrij naar het beeld van f(a) convergeren.

We weten dat |Xnk - an| < ɛ / n (met n het aantal termen van 1 -> n)

Dankzij de definitie weten we dat:
|f(Xk) - f(a)| = |f(X1k, ..., Xnk) - f(x1, ...,xn)| = |f(Xk) - f(x1) + ... + f(Xnk) - f(xn)| ≤ |F(X1k) - f(x1)| + ... + |f(Xnk) - f(Xn)| = |a1x1k - a1x1| + ... + |anXnk - anXn| < n. (ɛ / n) = ɛ

Hierdoor is bewezen dat een lineaire afbeelding altijd continu moet zijn.

Klopt dit ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 mei 2012 - 10:17

Wat is het verschil tussen F en f, bijvoorbeeld? En je functie gaat van Rm naar Rn, maar je gebruikt overal subscript n.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2012 - 10:51

Wat is het verschil tussen F en f, bijvoorbeeld? En je functie gaat van Rm naar Rn, maar je gebruikt overal subscript n.


Ja maar die functie van Rm -> Rn kan je toch opsplitsen in componentfuncties die eruit zien als mijn algemeen vb ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 mei 2012 - 10:55

Je zult toch echt duidelijker moeten zijn met wat je bedoelt. Je gebruikt F, maar ik zie nergens wat F is, noch waarom je plots F ipv f schrijft. Je hebt een functie die vertrekt met m componenten, maar je subscript is n. Dat houdt geen steek hè...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2012 - 15:29

Akkoord, het moet veel duidelijker. Dit is echter niet zo eenvoudig, maar de essentie van het idee is er toch al; of niet ?
Die 'F' was een typfout. :D

We hebben een algemeen functie voorschrift in de vorm van:
f: Rm -> Rn: (x1, ..., xm) |-> (a1x1 + .... + amxm + c1, ..., n1x1 + ... nmxm + cn)

(a, ..., n ∈ R en c1, ..., cn ∈ R)

Maar dit is ook niet echt duidelijk, wel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 mei 2012 - 15:55

Laten we de zaak even vereenvoudigen. Bewijs/beargumenteer eerst eens dat een lineaire functie van Rn naar R continu is.

Andere manieren zijn ook mogelijk. Je kunt ook proberen in te zien dat het voldoende is dat je functie in 1 punt continu is om overal continu te zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 mei 2012 - 11:05

Dus een lineaire functie van Rn -> R heeft een volgend algemeen functie voorschrift:

f: Rn -> R: (x1, ..., xn) |-> a1x1 + ... + anxn + c

Waarbij a1,...an, c ∈ R.

Aangezien het een lineaire functie betreft weten we dat we gebruik kunnen maken van de volgende defitinie:

f(x + y) = f(x) + f(y) (1)

Om aan te tonen dat de functie continu is moeten we bewijzen dat wanneer we een willekeurige rij naar een punt b ∈ R laten convergeren; de beelrij dan ook naar f(b) zal convergeren.

Neem nu een willekeurige rij Xk (= X1k, ..., Xnk) die naar b (= x1, ..., xn) convergereert. We weten dan dat er een k1 ∈ N bestaat zodat |Xk - b| < ε; voor alle indices k ≥ k1.

|f(Xk) - f(b)| = |(a1.X1k + ... + an.Xnk) - (a1.x1 + ... + an.xn)|

...



Zit ik nu op de goede weg ?

Laten we de zaak even vereenvoudigen. Bewijs/beargumenteer eerst eens dat een lineaire functie van Rn naar R continu is.

Andere manieren zijn ook mogelijk. Je kunt ook proberen in te zien dat het voldoende is dat je functie in 1 punt continu is om overal continu te zijn.


Hhmmm, waarom is dat voldoende ?

Veranderd door Biesmansss, 12 mei 2012 - 11:05

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 mei 2012 - 11:18

Dat is wel de juiste weg ja :). Het ziet er wel wat verwarrend uit zonder goed gebruik van indices. Let er vooral op dat je je componenten goed aanduidt en dergelijke.

Eens je deze continuïteit hebt, wordt het triviaal eigenlijk. Bekijk de lineaire functie F: Rn -> Rm die x afbeeldt op F(x) = (f1(x), ..., fm(x)) met fi: Rn -> R lineaire functies. Elke component is continu, dus F ook (en vice versa).

Waarom dat voldoende zou zijn: stel dat F: Rn -> Rm continu is in x0. Dus |F(x0) - F(x)| < e als |x0 - x| < d. Merk nu op dat als |y0 - y| < d, dan |x0 - (y0- y + x0)| < d. Uit lineariteit volgt dat F(y0) - F(y) = F(x0) - F(y0- y + x0) en dus volgt continuïteit in eender welk punt uit continuïteit in x0. Zie je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 mei 2012 - 12:04

Dat is wel de juiste weg ja :). Het ziet er wel wat verwarrend uit zonder goed gebruik van indices. Let er vooral op dat je je componenten goed aanduidt en dergelijke.

Eens je deze continuïteit hebt, wordt het triviaal eigenlijk. Bekijk de lineaire functie F: Rn -> Rm die x afbeeldt op F(x) = (f1(x), ..., fm(x)) met fi: Rn -> R lineaire functies. Elke component is continu, dus F ook (en vice versa).

Waarom dat voldoende zou zijn: stel dat F: Rn -> Rm continu is in x0. Dus |F(x0) - F(x)| < e als |x0 - x| < d. Merk nu op dat als |y0 - y| < d, dan |x0 - (y0- y + x0)| < d. Uit lineariteit volgt dat F(y0) - F(y) = F(x0) - F(y0- y + x0) en dus volgt continuïteit in eender welk punt uit continuïteit in x0. Zie je dit?


Niet onmiddelijk nee.

Om ook nog even terug te komen op het volgende deel
"Neem nu een willekeurige rij Xk (= X1k, ..., Xnk) die naar b (= x1, ..., xn) convergereert. We weten dan dat er een k1 ∈ N bestaat zodat |Xk - b| < ε; voor alle indices k ≥ k1."
Kan ik dit niet beter vervangen door:

Neem nu een willekeurige rij Xk (= X1k, ..., Xnk) die naar b (= x1, ..., xn) convergereert. We weten dan dat er een kj ∈ N bestaat zodat |Xjk - xj| < ε / n (met j ∈ 1, ..., n) ; voor alle indices k ≥ kj. Kies nu k' ≥ max{kj}. Dan geldt dat |Xk - xn| < ε; voor alle indices k ≥ k'.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures