\(x' = y + \alpha x(x^2 + y^2)\)
\(y' = -x + \alpha y(x^2 + y^2)\)
In mijn cursus zegt men dat men hierna over gaat op poolcoördinaten en dat men daarna volgend stelsel bekomt:\(r' = \alpha r^3\)
\(\theta ' = -1\)
Als ik dit zelf doe zou ik het volgende doen: Overgaan op poolcoördinaten is volgens mij als volgt:\(x = rcos\theta\)
\(y = rsin\theta\)
Als ik dit substitueer in mijn stelsel bekom ik:\( r'cos\theta - rsin\theta \theta ' = rsin\theta + \alpha rcos\theta(( rcos\theta)^2 + ( rsin\theta)^2)\)
\(r'sin\theta + rcos\theta \theta ' = -rcos\theta + \alpha rsin\theta(( rcos\theta)^2 + ( rsin\theta)^2)\)
Dit ietwat vereenvoudigen geeft mij:\( r'cos\theta - rsin\theta \theta ' = rsin\theta + \alpha r^3cos\theta\)
\(r'sin\theta + rcos\theta \theta ' = -rcos\theta + \alpha r^3sin\theta\)
Ik zie nu wel dat als ik in de eerste vgl beide leden deel door cos en in de tweede alles door sin, ik het volgende bekom:\( r' = rtan\theta(1 + \theta ') + \alpha r^3\)
\(r' = -rcot\theta(1 + \theta ') + \alpha r^3\)
Waaruit moet volgen:\( tan\theta(1 + \theta ') = -cot\theta(1 + \theta ')\)
En aangezien tangens en cotangens nooit tegengesteld kunnen zijn moet gelden dat:\(\theta ' = -1\)
en bijgevolg\(r' = \alpha r^3\)
Op die manier heb ik dus gevonden hoe men hier toe kwam.Ten eerste vraag ik me af of dit een goede/correcte methode is?
Maar vooral ten tweede vraag ik me af of het niet mogelijk is dit gemakkelijker/rapper in te zien. Nu heb ik het vooral gevonden omdat ik wist wat het te bekomen antwoord was, maar ik weet niet of ik in staat ben dit op die manier te doen als ik dit niet wist. Daarom vraag ik me af of dit niet makkelijker in te zien was?
