Springen naar inhoud

eerste orde benadering



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 mei 2012 - 15:42

"Toon aan dat de functie f: R2 -> R: (x, y) |-> 9 - x2 - y2 een eerste orde benadering g heeft rond punt (1, 2). Doe dit door eerst een voorstel te doen voor g en dan expliciet na te gaan dat:

LaTeX


Geef de vergelijking voor de grafiek van het raakvlak aan f en het functievoorschrift van de totale afgeleide van f in het punt (1, 2)."

Ik zou g als volgt opstellen:

g: R2 -> R: (1, 2) |-> f(1, 2) + D1f(1, 2).(x - 1) + D2f(1, 2).(y - 2)

= 4 - 2(x - 1) - 4(y - 2)
= 14 -2x - 4y

Nu moet ik aantonen dat

LaTeX

We kunnen stellen dat |9 - x2 - y2 - 14 +2x + 4y| ≤ |9 + x2 + y2 + 14 +2x + 4y|

Dus het volstaat om aan te tonen dat:

LaTeX

Maar hoe moet het nu verder ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 mei 2012 - 10:03

We kunnen stellen dat |9 - x2 - y2 - 14 +2x + 4y| ≤ |9 + x2 + y2 + 14 +2x + 4y|

Het is een klassieke fout, maar dit is niet waar! |9 - (-2)² - (-2)² - 14 + 2(-2) + 4(-2)| = |-25| = 25, en |9 + (-2)² + (-2)² + 14 + 2(-2) + 4(-2)| = |19| = 19.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 10:53

Het is een klassieke fout, maar dit is niet waar! |9 - (-2)² - (-2)² - 14 + 2(-2) + 4(-2)| = |-25| = 25, en |9 + (-2)² + (-2)² + 14 + 2(-2) + 4(-2)| = |19| = 19.


Juist, maar ik heb al een andere manier gevonden
Ik mag wel stellen dat |f(x, y) - g(x, y)| = |g(x, y) - f(x, y).
Dan krijg ik:

LaTeX

Maar deze breuk kan ik toch ook niet vereenvoudigen ? Door deze absolute waarde; maar kan ik niet gewoon stellen dat

LaTeX

?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 mei 2012 - 10:59

Volgens mij staan er nu toch wel wat typfouten in... Teller en noemer zijn, op wortel na, identiek. Dat was toch niet? Ik heb nog niet echt geteld, maar hoe je daaraan komt, snap ik niet.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:12

Volgens mij staan er nu toch wel wat typfouten in... Teller en noemer zijn, op wortel na, identiek. Dat was toch niet? Ik heb nog niet echt geteld, maar hoe je daaraan komt, snap ik niet.


Toch klopt het volgens mij, ik heb het nog eens na geteld.

Wel we hebben:
f: R2 -> R: (x, y) |-> 9 - x2 - y2

g: R2 -> R: (x, y) |-> f(1, 2) + D1f(1, 2).(x-1) + D2f(1, 2).(y - 2)

= 4 - 2.1.(x - 1) - 2.2.(y - 2)

= 14 - 2x - 4y

|g(x, y) - f(x, y)| = |14 - 2x - 4y -9 + x2 + y 2| = |x2 + y2 - 2x - 4y + 5| (teller)

||(x,y) - (1, 2)|| = √((x-1)2 + (y - 2)2) = √(x2 + y2 -2x - 4y + 5) (noemer)

Dus dan krijgen we uiteindelijk:

LaTeX

Maar hoe moet het nu verder ?

Want zowel teller en noemer gaan naar 0, dus dan krijg ik:

LaTeX

En dit is nog een onbepaalde vorm, hoe los ik dit op ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:16

Sorry, je hebt gelijk. Verkeerd gekeken ;).

Je hebt eigenlijk iets van deze vorm LaTeX . Dat kun je herschrijven naar... (vermenigvuldig teller en noemer met wortel(h)).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:23

Sorry, je hebt gelijk. Verkeerd gekeken ;).

Je hebt eigenlijk iets van deze vorm LaTeX

. Dat kun je herschrijven naar... (vermenigvuldig teller en noemer met wortel(h)).


Moet je niet werken met absolute waardes ?


(|h| / √(h)) . (√(h) / √(h)) = (|h|.√(h)) / |h| = √(h)

Veranderd door Biesmansss, 13 mei 2012 - 11:28

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:25

Een wortel is altijd positief. Dus LaTeX en LaTeX .

Edit: en ondertussen heb je dat beseft :P.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:31

Een wortel is altijd positief. Dus LaTeX

en LaTeX .


Ja maar ik bedoelde eigenlijk het volgende: √(h) . √(h) = |h| of h ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:34

Ah. Dat is |h| (al kun je daar nog wel wat over zeggen). Maar er rolt hier inderdaad uit wat jij hebt. Helpt je dat bij je opgave?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:37

Ah. Dat is |h| (al kun je daar nog wel wat over zeggen). Maar er rolt hier inderdaad uit wat jij hebt. Helpt je dat bij je opgave?


Ja, dan is ze opgelost. Dan krijgen we uiteindelijk gewoon Lim h -> 0 √(h) = 0.
Hartelijk bedankt Dries! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 mei 2012 - 11:41

Inderdaad :). Intuïtief kun je dat al vermoeden: een wortel maakt iets kwadratisch lineair, dus gaat wat in de teller staat overheersen ten opzichte van de noemer. Uiteraard is dat maar om een idee te krijgen. En graag gedaan!
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 13:54

"Geef de vergelijking voor de grafiek van het raakvlak aan f en het functievoorschrift van de totale afgeleide van f in het punt (1, 2)."

Om nog even terug te komen op dit laatste puntje, de vergelijking van de grafiek van het raakvlak aan f in dit punt is toch gewoon deze g(x,y) |-> 14 - 2x - 4y ? Maar wat is nu de total afgeleide ? Want in onze cursus is hiervoor de volgende formule gegeven:

Rn -> R: y = (y1, ..., yn) LaTeX

Dus dan is deze in dit geval uiteraard:

D1f(x) + D2f(y) = -2x - 4y ?

Veranderd door Biesmansss, 13 mei 2012 - 14:00

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures