Springen naar inhoud

Tensorbegrip


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 12 mei 2012 - 16:49

In een ander topic kwam het tensorbegrip aan de orde. Toen ben ik weer eens aan het zoeken gegaan, en vond ik onderstaande filmpje:

http://www.youtube.c...feature=related

Dat voert mij tot de volgende vragen:

- Kan een rang 2 tensor worden weergegeven door 9 getallen?

- Moet je niet samen met die 9 getallen aangeven welke basisvectoren daarbij horen, om te weten waar je het precies over hebt?

- Waarom is het zo dat de fysische grootheden (bijvoorbeeld de krachten) op dezelfde manier transformeren als de eenheidsvectoren wanneer je de 9 getallen bepaalt ten opzichte van een ander stel eenheidsvectoren?

- Kan je een tensor zelf beschouwen als de “equivalentieklasse” van alle stelsels van 9 getallen (tezamen met hun eenheidsvectoren) die in elkaar transformeren?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 12 mei 2012 - 19:01

Kan een rang 2 tensor worden weergegeven door 9 getallen?

Niet in het algemeen. Alleen als je dimensie in beide richtingen 3 is. Neem bijvoorbeeld een matrix die 4x4 is. Die heeft 2 indices, maar heeft 16 elementen.

- Moet je niet samen met die 9 getallen aangeven welke basisvectoren daarbij horen, om te weten waar je het precies over hebt?


Tensoren zijn onafhankelijk van coordinatensystemen, dus ze hebben "niet echt een basis". Ze hebben een regel die zegt wat er moet gebeuren bij een coordinatentransformatie (ovariantie).

- Waarom is het zo dat de fysische grootheden (bijvoorbeeld de krachten) op dezelfde manier transformeren als de eenheidsvectoren wanneer je de 9 getallen bepaalt ten opzichte van een ander stel eenheidsvectoren?


Zie bovenstaand antwoord.

- Kan je een tensor zelf beschouwen als de “equivalentieklasse” van alle stelsels van 9 getallen (tezamen met hun eenheidsvectoren) die in elkaar transformeren?


Ik weet niet precies wat je bedoelt, maar ik denk dat het antwoord "nee" is. Je kan niet alle stelsels maken, omdat het transformatiegedrag van een tensor vastligt door de covariante transformatie: http://en.wikipedia...._transformation

Veranderd door Revelation, 12 mei 2012 - 19:13

“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde

#3

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 12 mei 2012 - 19:33

Mijn grote probleem met tensoren is dat ze vaak worden geïntroduceerd als dingen die op een bepaalde manier transformeren, terwijl ik eerst wil weten wat het zijn (zodat ik zelf kan inzien/afleiden wat er de eigenschappen van zijn). Zo begreep ik pas goed wat lineaire ruimten zijn, toen ik ergens las dat het geen verzamelingen zijn waarin bepaalde bewerkingen zijn gedefinieerd, maar verzamelingen tezamen met die bewerkingen. Aan een verzameling op zich kan je immers niet zien welke bewerkingen erbij gedefinieerd zijn, want een verzameling is geheel gedefinieerd door de elementen die erin zitten (en de bewerkingen op die elementen zijn niet zelf weer elementen van die verzameling). Een subtiel verschil, maar essentieel als je precies wilt begrijpen wat voor dingen lineaire ruimten (en algebraïsche structuren in het algemeen) zijn.

Een zelfde moeilijkheid heb ik nu ook met de representatie van een tensor als een matrix, als je niet aangeeft wat de eenheidsvectoren zijn die gebruikt worden ontbreekt er volgens mij informatie. Ik kan mij wel voorstellen dat je voor ieder denkbaar stelsel van eenheidsvectoren een bijpassende matrix vindt. De verzameling van al die stelsels van eenheidsvectoren met hun bijbehorende matrices is dan een object dat zelf onafhankelijk is van de keuze van eenheidsvectoren (omdat je alle keuzes erin opgenomen hebt). Als dat een tensor is, dan kan ik mij er iets bij voorstellen.

#4

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 mei 2012 - 23:14

http://www.math.leid...an/tensoren.pdf

#5

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 12 mei 2012 - 23:35

http://www.math.leid...an/tensoren.pdf


Dergelijke definities ben ik inderdaad eerder tegengekomen. Het ziet er deugdelijk uit, maar ik kan mij er niets bij voorstellen.

Ik vraag mij af hoe dat anderen op dit forum vergaat? Is er geen inzichtelijker definitie? Complexe en reële getallen kan je bijvoorbeeld ook op meerdere manieren definiëren, waarvan sommige ook intuïtief helder zijn.

#6

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 13 mei 2012 - 10:55

Dergelijke definities ben ik inderdaad eerder tegengekomen. Het ziet er deugdelijk uit, maar ik kan mij er niets bij voorstellen.



Ik wil het toch nog eens proberen.


Ik vraag mij af hoe dat anderen op dit forum vergaat? Is er geen inzichtelijker definitie? Complexe en reële getallen kan je bijvoorbeeld ook op meerdere manieren definiëren, waarvan sommige ook intuïtief helder zijn.



Volgens de Wikipedia bestaan er inderdaad meerdere mogelijke intrinsieke definities, maar de definitie van aestu ziet er nog het "eenvoudigste" uit. Dus daar wil ik maar mee verder gaan.

Om te voorkomen dat ik op een dwaalspoor raak zal ik de definitie stap voor stap proberen te doorgronden.

Vraag: Is het zo dat tensoren steeds gedefinieerd zijn ten opzichte van een lineaire ruimte? Dus moet je bij de vraag of iets een tensor is steeds weten van welke lineaire ruimte daarbij uitgegaan wordt?

#7

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2012 - 09:53

Eindelijk een boek gevonden waarin het tensorbegrip op een voor mij begrijpelijke manier wordt uitgelegd! :D

http://rd.springer.c...6-4715-5

#8

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 24 juni 2013 - 19:21

Wat mis je wanneer je alleen met covariante tensoren zou rekenen?

Volstaan zulke tensoren voor fysische toepassingen?

Ook begrijp ik nog niet wat het nut van die duale ruimte is...

#9

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juni 2013 - 14:26

Wat mis je wanneer je alleen met covariante tensoren zou rekenen?

Volstaan zulke tensoren voor fysische toepassingen?

Ook begrijp ik nog niet wat het nut van die duale ruimte is...

Je introduceert een duale ruimte zodat als je elementen uit de duale ruimte laat werken op elementen uit je vectorruime, er een getal uitkomt. Noem het contractie. De waarde die je toekent aan zo'n contractie hangt af van je metriek - het lengtebegrip.

Zie eventueel https://en.wikipedia...wiki/Dual_space voor de definitie van een duale ruimte.

Op LaTeX , met LaTeX de euclidische norm blijkt dat je geen onderscheid hoeft te maken tussen elementen uit V en V*. Denk bijvoorbeeld aan dat je het in-product intuitief beschouwt als een bewerking op twee vectoren uit V.

Met bijv. een Minkowskimetriek geef je de duale ruimte een structuur precies zo dat je ''inproduct'' tussen v en v* naar wens werkt. Dit verandert ook de transformatieregels.

#10

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 30 juni 2013 - 17:47

Even in eigen woorden:

Stel je hebt een vectorruimte (V,+, . ) over R of C. De verzameling van alle afbeeldingen van V in R of C tezamen met een optelling + en scalaire vermenigvuldiging . zoals hieronder gedefinieerd vormen we dan de duale ruimte (V*,+, . ) over R of C behorende bij (V,+, . ).

De optelling voor de duale ruimte is gedefinieerd als:

(A + B)(x) = A(x) + B(x).

En de scalaire vermenigvuldiging als:

(a.A)(x) = a.A(x) .


Klopt dat?

#11

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juni 2013 - 18:19

Even in eigen woorden:

Stel je hebt een vectorruimte (V,+, . ) over R of C. De verzameling van alle afbeeldingen van V in R of C tezamen met een optelling + en scalaire vermenigvuldiging . zoals hieronder gedefinieerd vormen we dan de duale ruimte (V*,+, . ) over R of C behorende bij (V,+, . ).

De optelling voor de duale ruimte is gedefinieerd als:

(A + B)(x) = A(x) + B(x).

En de scalaire vermenigvuldiging als:

(a.A)(x) = a.A(x) .


Klopt dat?

Ja. Alleen kun je de duale ruimte V* een vectorruimte noemen als je hem uitrust met optelling en vermenigvuldiging, maar dat is een kleinigheid. Misschien kun je het zo inzichtelijker opschrijven:
LaTeX
Merk dan op dat voor LaTeX en LaTeX dat LaTeX . Je kunt een natuurlijk isomorfisme definieren van V naar V* gegeven door het inproduct LaTeX .

#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 30 juni 2013 - 18:30

Ja. Alleen kun je de duale ruimte V* een vectorruimte noemen als je hem uitrust met optelling en vermenigvuldiging, maar dat is een kleinigheid. Misschien kun je het zo inzichtelijker opschrijven:
LaTeX



Het is mij niet meteen duidelijk dat die definitie op het zelfde neerkomt. Bij mijn definitie zijn er geen voorwaarden aan de afbeeldingen gesteld behalve dat die van V naar R of C moeten gaan.

#13

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juni 2013 - 18:32

Het is mij niet meteen duidelijk dat die definitie op het zelfde neerkomt. Bij mijn definitie zijn er geen voorwaarden aan de afbeeldingen gesteld behalve dat die van V naar R of C moeten gaan.

Je zegt ''zoals hieronder gedefinieerd''. Dat betekent lineariteit.

#14

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 30 juni 2013 - 18:48

Stel we gaan uit van R3 met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging. Dan is er een afbeelding φ van R3 naar R die 1 oplevert voor (1,0,0) en 0 voor alle andere vectoren. Die afbeelding behoort dan volgens mijn definitie tot de duale ruimte (R3)* , maar is die afbeelding ook lineair?

Edit: Ik zie het al, je mag voor de duale ruimte alleen de lineaire afbeeldingen gebruiken. En door mijn definities voor de optelling en scalaire vermenigvuldiging maak je er een vectorruimte van.

Veranderd door Bartjes, 30 juni 2013 - 19:14


#15

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juni 2013 - 19:16

Stel je hebt een vectorruimte (V,+, . ) over R of C. De verzameling van alle afbeeldingen van V in R of C tezamen met een optelling + en scalaire vermenigvuldiging zoals hieronder gedefinieerd vormen we dan de duale ruimte.

Nee, alleen de lineare afbeeldingen.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures