In een ander topic kwam het tensorbegrip aan de orde. Toen ben ik weer eens aan het zoeken gegaan, en vond ik onderstaande filmpje:
http://www.youtube.c...feature=related
Dat voert mij tot de volgende vragen:
- Kan een rang 2 tensor worden weergegeven door 9 getallen?
- Moet je niet samen met die 9 getallen aangeven welke basisvectoren daarbij horen, om te weten waar je het precies over hebt?
- Waarom is het zo dat de fysische grootheden (bijvoorbeeld de krachten) op dezelfde manier transformeren als de eenheidsvectoren wanneer je de 9 getallen bepaalt ten opzichte van een ander stel eenheidsvectoren?
- Kan je een tensor zelf beschouwen als de “equivalentieklasse” van alle stelsels van 9 getallen (tezamen met hun eenheidsvectoren) die in elkaar transformeren?
Laatste berichten
-
11:59
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 3
-
11:32
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 6
-
11:31
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 14
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Weerfrustratie 5
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Tensorbegrip
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 2.364
Re: Tensorbegrip
Niet in het algemeen. Alleen als je dimensie in beide richtingen 3 is. Neem bijvoorbeeld een matrix die 4x4 is. Die heeft 2 indices, maar heeft 16 elementen.Kan een rang 2 tensor worden weergegeven door 9 getallen?
- Moet je niet samen met die 9 getallen aangeven welke basisvectoren daarbij horen, om te weten waar je het precies over hebt?
Tensoren zijn onafhankelijk van coordinatensystemen, dus ze hebben "niet echt een basis". Ze hebben een regel die zegt wat er moet gebeuren bij een coordinatentransformatie (ovariantie).
- Waarom is het zo dat de fysische grootheden (bijvoorbeeld de krachten) op dezelfde manier transformeren als de eenheidsvectoren wanneer je de 9 getallen bepaalt ten opzichte van een ander stel eenheidsvectoren?
Zie bovenstaand antwoord.
- Kan je een tensor zelf beschouwen als de “equivalentieklasse” van alle stelsels van 9 getallen (tezamen met hun eenheidsvectoren) die in elkaar transformeren?
Ik weet niet precies wat je bedoelt, maar ik denk dat het antwoord "nee" is. Je kan niet alle stelsels maken, omdat het transformatiegedrag van een tensor vastligt door de covariante transformatie: http://en.wikipedia...._transformation
Quotation is a serviceable substitute for wit. - Oscar Wilde
Re: Tensorbegrip
Mijn grote probleem met tensoren is dat ze vaak worden geïntroduceerd als dingen die op een bepaalde manier transformeren, terwijl ik eerst wil weten wat het zijn (zodat ik zelf kan inzien/afleiden wat er de eigenschappen van zijn). Zo begreep ik pas goed wat lineaire ruimten zijn, toen ik ergens las dat het geen verzamelingen zijn waarin bepaalde bewerkingen zijn gedefinieerd, maar verzamelingen tezamen met die bewerkingen. Aan een verzameling op zich kan je immers niet zien welke bewerkingen erbij gedefinieerd zijn, want een verzameling is geheel gedefinieerd door de elementen die erin zitten (en de bewerkingen op die elementen zijn niet zelf weer elementen van die verzameling). Een subtiel verschil, maar essentieel als je precies wilt begrijpen wat voor dingen lineaire ruimten (en algebraïsche structuren in het algemeen) zijn.
Een zelfde moeilijkheid heb ik nu ook met de representatie van een tensor als een matrix, als je niet aangeeft wat de eenheidsvectoren zijn die gebruikt worden ontbreekt er volgens mij informatie. Ik kan mij wel voorstellen dat je voor ieder denkbaar stelsel van eenheidsvectoren een bijpassende matrix vindt. De verzameling van al die stelsels van eenheidsvectoren met hun bijbehorende matrices is dan een object dat zelf onafhankelijk is van de keuze van eenheidsvectoren (omdat je alle keuzes erin opgenomen hebt). Als dat een tensor is, dan kan ik mij er iets bij voorstellen.
Een zelfde moeilijkheid heb ik nu ook met de representatie van een tensor als een matrix, als je niet aangeeft wat de eenheidsvectoren zijn die gebruikt worden ontbreekt er volgens mij informatie. Ik kan mij wel voorstellen dat je voor ieder denkbaar stelsel van eenheidsvectoren een bijpassende matrix vindt. De verzameling van al die stelsels van eenheidsvectoren met hun bijbehorende matrices is dan een object dat zelf onafhankelijk is van de keuze van eenheidsvectoren (omdat je alle keuzes erin opgenomen hebt). Als dat een tensor is, dan kan ik mij er iets bij voorstellen.
Re: Tensorbegrip
Dergelijke definities ben ik inderdaad eerder tegengekomen. Het ziet er deugdelijk uit, maar ik kan mij er niets bij voorstellen.
Ik vraag mij af hoe dat anderen op dit forum vergaat? Is er geen inzichtelijker definitie? Complexe en reële getallen kan je bijvoorbeeld ook op meerdere manieren definiëren, waarvan sommige ook intuïtief helder zijn.
Re: Tensorbegrip
Ik wil het toch nog eens proberen.Bartjes schreef: ↑zo 13 mei 2012, 00:35
Dergelijke definities ben ik inderdaad eerder tegengekomen. Het ziet er deugdelijk uit, maar ik kan mij er niets bij voorstellen.
Volgens de Wikipedia bestaan er inderdaad meerdere mogelijke intrinsieke definities, maar de definitie van aestu ziet er nog het "eenvoudigste" uit. Dus daar wil ik maar mee verder gaan.Ik vraag mij af hoe dat anderen op dit forum vergaat? Is er geen inzichtelijker definitie? Complexe en reële getallen kan je bijvoorbeeld ook op meerdere manieren definiëren, waarvan sommige ook intuïtief helder zijn.
Om te voorkomen dat ik op een dwaalspoor raak zal ik de definitie stap voor stap proberen te doorgronden.
Vraag: Is het zo dat tensoren steeds gedefinieerd zijn ten opzichte van een lineaire ruimte? Dus moet je bij de vraag of iets een tensor is steeds weten van welke lineaire ruimte daarbij uitgegaan wordt?
Re: Tensorbegrip
Eindelijk een boek gevonden waarin het tensorbegrip op een voor mij begrijpelijke manier wordt uitgelegd! 
http://rd.springer.c...6-4715-5
http://rd.springer.c...6-4715-5
Re: Tensorbegrip
Wat mis je wanneer je alleen met covariante tensoren zou rekenen?
Volstaan zulke tensoren voor fysische toepassingen?
Ook begrijp ik nog niet wat het nut van die duale ruimte is...
Volstaan zulke tensoren voor fysische toepassingen?
Ook begrijp ik nog niet wat het nut van die duale ruimte is...
-
- Berichten: 264
Re: Tensorbegrip
Je introduceert een duale ruimte zodat als je elementen uit de duale ruimte laat werken op elementen uit je vectorruime, er een getal uitkomt. Noem het contractie. De waarde die je toekent aan zo'n contractie hangt af van je metriek - het lengtebegrip.Bartjes schreef: ↑ma 24 jun 2013, 20:21
Wat mis je wanneer je alleen met covariante tensoren zou rekenen?
Volstaan zulke tensoren voor fysische toepassingen?
Ook begrijp ik nog niet wat het nut van die duale ruimte is...
Zie eventueel https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space voor de definitie van een duale ruimte.
Op
\(V = ( \mathbb{R}^3, ||\cdot|| ) \)
, met \(||\cdot|| \)
de euclidische norm blijkt dat je geen onderscheid hoeft te maken tussen elementen uit V en V*. Denk bijvoorbeeld aan dat je het in-product intuitief beschouwt als een bewerking op twee vectoren uit V. Met bijv. een Minkowskimetriek geef je de duale ruimte een structuur precies zo dat je ''inproduct'' tussen v en v* naar wens werkt. Dit verandert ook de transformatieregels.
Re: Tensorbegrip
Even in eigen woorden:
Stel je hebt een vectorruimte (V,+, . ) over R of C. De verzameling van alle afbeeldingen van V in R of C tezamen met een optelling + en scalaire vermenigvuldiging . zoals hieronder gedefinieerd vormen we dan de duale ruimte (V*,+, . ) over R of C behorende bij (V,+, . ).
De optelling voor de duale ruimte is gedefinieerd als:
(A + B)(x) = A(x) + B(x).
En de scalaire vermenigvuldiging als:
(a.A)(x) = a.A(x) .
Klopt dat?
Stel je hebt een vectorruimte (V,+, . ) over R of C. De verzameling van alle afbeeldingen van V in R of C tezamen met een optelling + en scalaire vermenigvuldiging . zoals hieronder gedefinieerd vormen we dan de duale ruimte (V*,+, . ) over R of C behorende bij (V,+, . ).
De optelling voor de duale ruimte is gedefinieerd als:
(A + B)(x) = A(x) + B(x).
En de scalaire vermenigvuldiging als:
(a.A)(x) = a.A(x) .
Klopt dat?
-
- Berichten: 264
Re: Tensorbegrip
Ja. Alleen kun je de duale ruimte V* een vectorruimte noemen als je hem uitrust met optelling en vermenigvuldiging, maar dat is een kleinigheid. Misschien kun je het zo inzichtelijker opschrijven:Bartjes schreef: ↑zo 30 jun 2013, 18:47
Even in eigen woorden:
Stel je hebt een vectorruimte (V,+, . ) over R of C. De verzameling van alle afbeeldingen van V in R of C tezamen met een optelling + en scalaire vermenigvuldiging . zoals hieronder gedefinieerd vormen we dan de duale ruimte (V*,+, . ) over R of C behorende bij (V,+, . ).
De optelling voor de duale ruimte is gedefinieerd als:
(A + B)(x) = A(x) + B(x).
En de scalaire vermenigvuldiging als:
(a.A)(x) = a.A(x) .
Klopt dat?
\(
V* := \{ T: V \rightarrow \mathbb{R} | T \text{ is lineair} \}.
\)
Merk dan op dat voor V* := \{ T: V \rightarrow \mathbb{R} | T \text{ is lineair} \}.
\)
\(v \in V\)
en \(w \in V^*\)
dat \(w(v) \in \mathbb{R}\)
. Je kunt een natuurlijk isomorfisme definieren van V naar V* gegeven door het inproduct \( v^*(w) = \langle v, w \rangle \)
.Re: Tensorbegrip
Axioma91 schreef: ↑zo 30 jun 2013, 19:19
Ja. Alleen kun je de duale ruimte V* een vectorruimte noemen als je hem uitrust met optelling en vermenigvuldiging, maar dat is een kleinigheid. Misschien kun je het zo inzichtelijker opschrijven:
\(
V* := \{ T: V \rightarrow \mathbb{R} | T \text{ is lineair} \}.
\)
Het is mij niet meteen duidelijk dat die definitie op het zelfde neerkomt. Bij mijn definitie zijn er geen voorwaarden aan de afbeeldingen gesteld behalve dat die van V naar R of C moeten gaan.
-
- Berichten: 264
Re: Tensorbegrip
Je zegt ''zoals hieronder gedefinieerd''. Dat betekent lineariteit.Bartjes schreef: ↑zo 30 jun 2013, 19:30
Het is mij niet meteen duidelijk dat die definitie op het zelfde neerkomt. Bij mijn definitie zijn er geen voorwaarden aan de afbeeldingen gesteld behalve dat die van V naar R of C moeten gaan.
Re: Tensorbegrip
Stel we gaan uit van R3 met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging. Dan is er een afbeelding φ van R3 naar R die 1 oplevert voor (1,0,0) en 0 voor alle andere vectoren. Die afbeelding behoort dan volgens mijn definitie tot de duale ruimte (R3)* , maar is die afbeelding ook lineair?
Edit: Ik zie het al, je mag voor de duale ruimte alleen de lineaire afbeeldingen gebruiken. En door mijn definities voor de optelling en scalaire vermenigvuldiging maak je er een vectorruimte van.
Edit: Ik zie het al, je mag voor de duale ruimte alleen de lineaire afbeeldingen gebruiken. En door mijn definities voor de optelling en scalaire vermenigvuldiging maak je er een vectorruimte van.
-
- Berichten: 2.906
Re: Tensorbegrip
Nee, alleen de lineare afbeeldingen.Bartjes schreef: ↑zo 30 jun 2013, 18:47
Stel je hebt een vectorruimte (V,+, . ) over R of C. De verzameling van alle afbeeldingen van V in R of C tezamen met een optelling + en scalaire vermenigvuldiging zoals hieronder gedefinieerd vormen we dan de duale ruimte.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
