Springen naar inhoud

Algemene oplossing tweede-orde differentiaalvergelijking



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 13:19

Vraag A2 examen 2010.jpg

(a) Ik zou niet goed weten hoe ik hier op moet antwoorden. Enerzijds zou ik zeggen: "de differentiaalvergelijking is analytisch in r = 1 want p( r )(hier 1/r) en q( r ) (hier 0) en al hun afgeleiden bestaan in r = 1."

Maar ik vermoed dat ik het nog op een andere manier moet aantonen ook. In mijn cursus lees ik "Een functie f(t) is analytisch in een punt t0 als haar Taylor-reeksontwikkeling LaTeX een convergentiestraal R>0 heeft."

Ik weet niet goed hoe ik dit moet aantonen. Ik weet dat de Taylor-ontwikkeling van 1/r de volgende is: LaTeX . Maar ik weet niet hoe ik nu moet bepalen dat de convergentiestraal > 0 (reeksen zitten ook wel al wat verder in m'n geheugen..).

Iemand die me hierbij kan helpen? Ik vermoed dat het een triviaal antwoord zal zijn, aangezien we dit niet uitvoerig behandeld hebben in de cursus.

------------------------------------------------------------------------------------------------

(b) Aangezien r = 1 een 'gewoon' punt is, stel ik volgende reeksoplossing voor: LaTeX .
Nu moet ik ervoor zorgen dat alle 'r-termen' in mijn differentiaalvergelijking ook van de vorm LaTeX worden. In dit geval moet dus enkel 1/r omgezet worden, en dit kan ik doen aan de hand van Taylor-ontwikkeling van 1/r rond r = 1. Zoals bij vraag (a) krijg ik dus: LaTeX

Als ik nu mijn vooropgestelde reeksontwikkeling twee keer afleid en substitueer en ik substitueer ook de Taylor-ontwikkeling van 1/r, dan wordt mijn differentiaalvergelijking de volgende:
LaTeX

Nu zou ik de indexen moet aanpassen, zodat de (r-1)-termen tot dezelfde macht staan. Zo kan ik bijvoorbeeld n - 2 = 2k-1 stellen.
Mijn differentiaalvergelijking wordt dan:
LaTeX
Als ik nu overal k vervang door n krijg ik:
LaTeX

Hier ruik ik echter al onraad, het lijkt me nogal vreemd dat mijn indexen bij de eerste som per half getal gaan, terwijl deze bij m'n tweede som met volledig getallen werken. Ik denk dus niet dat het mogelijk is om deze sommaties samen te voegen, wat wel mijn doel is.

Hierna zou ik dus mijn sommaties samenvoegen, linker- en rechterlid gelijkstellen, en zo een recursiebetrekking bekomen om mijn coëfficiënten LaTeX te schrijven in termen van LaTeX en LaTeX (dat is toch de normale procedure die wij gevolgd hebben bij het oplossen van zo'n oefening).

Iemand die me hier uit de nood kan helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 mei 2012 - 16:26

Verplaatst naar Analyse.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 mei 2012 - 07:09

Misschien even zeggen dat oefening (b) al sowieso niet klopt omdat ik ben vergeten rekening te houden met mijn Cauchy-product en tevens gemist ben bij de reeksontwikkeling van 1/r. Hier zal ik nog later op terugkomen.

Bij vraag (a) kan ik voorlopig wel nog steeds directe hulp gebruiken (als je in acht neemt dat de Taylor-reeks die ik daar opstelde moet gedeeld worden door 'n!').






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures