Algemene oplossing tweede-orde differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 411

Algemene oplossing tweede-orde differentiaalvergelijking

Vraag A2 examen 2010.jpg
Vraag A2 examen 2010.jpg (86.93 KiB) 295 keer bekeken
(a) Ik zou niet goed weten hoe ik hier op moet antwoorden. Enerzijds zou ik zeggen: "de differentiaalvergelijking is analytisch in r = 1 want p( r )(hier 1/r) en q( r ) (hier 0) en al hun afgeleiden bestaan in r = 1."

Maar ik vermoed dat ik het nog op een andere manier moet aantonen ook. In mijn cursus lees ik "Een functie f(t) is analytisch in een punt t0 als haar Taylor-reeksontwikkeling
\(f(t) = \sum^\infty_{n=0} \frac{f^{(n)}(t_0)}{n!}(t-t_0)^n\)
een convergentiestraal R>0 heeft."

Ik weet niet goed hoe ik dit moet aantonen. Ik weet dat de Taylor-ontwikkeling van 1/r de volgende is:
\(1 - 1(r-1) + 2(r-1)^2 - 2*3(r-1)^3 + . . . = \sum^{+\infty}_{n=0} (-1)^n n! (r-1)^n\)
. Maar ik weet niet hoe ik nu moet bepalen dat de convergentiestraal > 0 (reeksen zitten ook wel al wat verder in m'n geheugen..).

Iemand die me hierbij kan helpen? Ik vermoed dat het een triviaal antwoord zal zijn, aangezien we dit niet uitvoerig behandeld hebben in de cursus.

------------------------------------------------------------------------------------------------

(b) Aangezien r = 1 een 'gewoon' punt is, stel ik volgende reeksoplossing voor:
\(f(r) = \sum^\infty_{n=0} a_n(r-r_0)^n = \sum^\infty_{n=0} a_n(r-1)^n \)
.

Nu moet ik ervoor zorgen dat alle 'r-termen' in mijn differentiaalvergelijking ook van de vorm
\((r-1)^n\)
worden. In dit geval moet dus enkel 1/r omgezet worden, en dit kan ik doen aan de hand van Taylor-ontwikkeling van 1/r rond r = 1. Zoals bij vraag (a) krijg ik dus:
\(1 - 1(r-1) + 2(r-1)^2 - 2*3(r-1)^3 + . . . = \sum^{+\infty}_{n=0} (-1)^n n! (r-1)^n\)
Als ik nu mijn vooropgestelde reeksontwikkeling twee keer afleid en substitueer en ik substitueer ook de Taylor-ontwikkeling van 1/r, dan wordt mijn differentiaalvergelijking de volgende:
\( \sum^\infty_{n=2} a_n n (n-1) (r-1)^{n-2} + \sum^\infty_{n=1} (-1)^n a_n n* n!(r-1)^{2n-1} = 0\)
Nu zou ik de indexen moet aanpassen, zodat de (r-1)-termen tot dezelfde macht staan. Zo kan ik bijvoorbeeld n - 2 = 2k-1 stellen.

Mijn differentiaalvergelijking wordt dan:
\( \sum^\infty_{k=1/2} a_{2k+1} (2k+1) (2k) (r-1)^{2k-1} + \sum^\infty_{n=1} (-1)^n a_n n* n!(r-1)^{2n-1} = 0\)
Als ik nu overal k vervang door n krijg ik:
\( \sum^\infty_{n=1/2} a_{2n+1} (2n+1) (2n) (r-1)^{2n-1} + \sum^\infty_{n=1} (-1)^n a_n n* n!(r-1)^{2n-1} = 0\)
Hier ruik ik echter al onraad, het lijkt me nogal vreemd dat mijn indexen bij de eerste som per half getal gaan, terwijl deze bij m'n tweede som met volledig getallen werken. Ik denk dus niet dat het mogelijk is om deze sommaties samen te voegen, wat wel mijn doel is.

Hierna zou ik dus mijn sommaties samenvoegen, linker- en rechterlid gelijkstellen, en zo een recursiebetrekking bekomen om mijn coëfficiënten
\(a_n\)
te schrijven in termen van
\(a_0\)
en
\(a_1\)
(dat is toch de normale procedure die wij gevolgd hebben bij het oplossen van zo'n oefening).

Iemand die me hier uit de nood kan helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Algemene oplossing tweede-orde differentiaalvergelijking

Verplaatst naar Analyse.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 411

Re: Algemene oplossing tweede-orde differentiaalvergelijking

Misschien even zeggen dat oefening (b) al sowieso niet klopt omdat ik ben vergeten rekening te houden met mijn Cauchy-product en tevens gemist ben bij de reeksontwikkeling van 1/r. Hier zal ik nog later op terugkomen.

Bij vraag (a) kan ik voorlopig wel nog steeds directe hulp gebruiken (als je in acht neemt dat de Taylor-reeks die ik daar opstelde moet gedeeld worden door 'n!').

Reageer