Springen naar inhoud

Evenwichtspunten van een differentiaalvergelijking



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 18:18

Vraag A2 examen 2011.jpg

Ik weet dat je een evenwichtspunt hebt wanneer de afgeleide 0 is. Bijgevolg moet ik dus volgende vergelijking analyseren: LaTeX

Als ik deze vergelijking ingeef in Maple, bekom ik 3 nogal 'monstrueuze' uitdrukkingen voor x in functie van mu. Hiermee 'durfde' ik niet meteen verder werken, dus zocht ik naar een andere methode.

Zo kan ik bijvoorbeeld ook x' plotten in functie van x en mu laten variëren.
Zo heb ik bijvoorbeeld mu gelijk gesteld aan 1 en dit dan geplot om een idee te krijgen van het verloop, dit gaf dan één nulpunt wat tevens een asymptotisch stabiel evenwichtspunt is.

Ik zie echter dat deze grafiek ook 3 nulpunten kan hebben, afhankelijk van mu. Maar hoe kan ik nu net die mu vinden waarvoor er 3 nulpunten zijn? (Dit zal dan logischerwijs ook mijn bifurcatiepunt zijn)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2012 - 10:09

Plot mu eens als functie van x.

#3

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 18:35

Plot mu eens als functie van x.

Dan zie ik dat die functie 1 nulpunt heeft, namelijk (0; 0). Maar ik weet niet goed wat ik hier uit zou kunnen besluiten?

Ik heb ondertussen wel al gezien dat, als ik LaTeX of LaTeX plot in het x'x-vlak, ik telkens één nulpunt heb, terwijl ik bij LaTeX 3 nulpunten heb. Hierdoor vermoed ik dus dat mu = 0 mijn bifurcatiepunt zal zijn, maar hier heb ik gewoon geluk. Ik vulde deze waarden in en zag dat net deze mij een verschil gaven, waarom net dit punt is mij niet duidelijk (waarschijnlijk suggereerde je daarom dat ik mu als functie van x moet plotten, maar toch zie ik de link nog niet..). Ook lijkt het me logisch dat er nog een bifurcatiepunt zou zijn, maar welke dit dan is, zie ik niet meteen (ik zou wel weer mu kunnen laten variëren, maar dan ben ik meer met trial en error bezig dan wat anders, iets wat eigenlijk niet zou moeten bij zo'n oefening).

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2012 - 19:33

Dan zie ik dat die functie 1 nulpunt heeft, namelijk (0; 0). Maar ik weet niet goed wat ik hier uit zou kunnen besluiten?

Bedenk wat de plot betekent. Je bent begonnen door de afgeleide aan nul gelijk te stellen. De lijn die je tekent geeft alle paren van mu en x aan waarvoor de afgeleide nul is. Als je bij een bepaalde mu kijkt zie je dus alle x waarvoor de afgeleide nul is. Bijvoorbeeld als mu = 0 dan vind je x=0, x=0.5*sqrt(3) en x=-0.5*sqrt(3). Zie je nu wat de plot betekent?

#5

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2012 - 07:42

Bedenk wat de plot betekent. Je bent begonnen door de afgeleide aan nul gelijk te stellen. De lijn die je tekent geeft alle paren van mu en x aan waarvoor de afgeleide nul is. Als je bij een bepaalde mu kijkt zie je dus alle x waarvoor de afgeleide nul is. Bijvoorbeeld als mu = 0 dan vind je x=0, x=0.5*sqrt(3) en x=-0.5*sqrt(3). Zie je nu wat de plot betekent?

Aha, ik begin het al wat meer door te hebben. Die plot is dus het zogenaamde 'bifurcatiediagram', die alle koppels (x; mu) geeft die evenwichtspunten zijn.

Volgend probleem kom ik wel nog tegen: als ik de functie LaTeX analytisch bekijk, bijvoorbeeld bij mu = 0, merk ik inderdaad dat deze 3 nulpunten heeft (deze die jij opsomde). Grafisch echter (op mijn GRM) krijg ik maar één nulpunt te zien, hoe zou dit komen?

Verder zie ik echter nog niet hoe ik het zogenaamde 'bifurcatiepunt' kan bepalen (= het punt waar er verandering is van de stabiliteit of van het aantal evenwichtspunten). Volgens mij zullen er hier twee bifurcatiepunten zijn, maar hoe ik deze kan bepalen zie ik nog niet in.

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 mei 2012 - 08:32

LaTeX

Je moet LaTeX bekijken.

Verder zie ik echter nog niet hoe ik het zogenaamde 'bifurcatiepunt' kan bepalen (= het punt waar er verandering is van de stabiliteit of van het aantal evenwichtspunten). Volgens mij zullen er hier twee bifurcatiepunten zijn, maar hoe ik deze kan bepalen zie ik nog niet in.

Teken de functie eens. Pak een lineaal. Leg deze lineaal parallel aan de x-as. De snijpunten tussen de lineaal en de functie zijn de nulpunten van de afgeleide voor de mu waar je lineaal de mu-as snijdt. Verschuif de lineaal op en neer. Wanneer verandert het aantal nulpunten van de afgeleide?

Even ter verduidelijking: ik ben niet helemaal zeker wat bifurcatiediagrammen en bifurcatiepunten zijn. Mijn hulp is dus op basis van wat ik denk dat er bedoeld wordt. :)

#7

Uomo Universale

    Uomo Universale


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2012 - 13:57

Je moet LaTeX

bekijken.

Inderdaad. Nogal een beschamende verstrooidheidsfout van me.. :oops:

Teken de functie eens. Pak een lineaal. Leg deze lineaal parallel aan de x-as. De snijpunten tussen de lineaal en de functie zijn de nulpunten van de afgeleide voor de mu waar je lineaal de mu-as snijdt. Verschuif de lineaal op en neer. Wanneer verandert het aantal nulpunten van de afgeleide?

Natuurlijk! Bedankt om me dit inzicht te verschaffen EvilBro! Via de 'min' en 'max'-functie van mijn GRM vind ik op die manier dat bij mu = 1/3 en mu = -1/3 het aantal nulpunten veranderd.
Ik moet dan zelf wel nog even uitdokteren hoe ik dit dan best in een bifurcatiediagram zet (aangezien we bepaalde conventies moeten aannemen m.b.t. stabiele of onstabiele evenwichtspunten), maar daar zal ik me hopelijk wel kunnen doorbijten.


Enorm bedankt voor je hulp alweer!






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures