Springen naar inhoud

Afgeleide van een functie op de grens van haar domein


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 22:15

Goedendag,

Stel je hebt de functie f(x) = x^2 met domein [-2,2].

Volgens mij is nu f'(2) (en ook f'(-2)) niet gedefinieerd, want:

LaTeX if and only if LaTeX and LaTeX .

Bij het berekenen van de afgeleide van een functie maak je gebruik van een limiet, en omdat je de waarde f(2) niet van boven kan benaderen, bestaat f'(2) dus niet volgens mij.

Ik vraag dit vanwege de definitie van het critical point:

In calculus, a critical point of a function of a real variable is any value in the domain where either the function is not differentiable or its derivative is 0.


Ik zou dus zeggen dat de critical points voor de gegeven functie f(x) zijn: (0,0), (-2,4) en (2,4). Volgens mijn boek is dit echter alleen (0,0).

Kan iemand mij uitleggen waarom dit zo is?

Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 mei 2012 - 22:35

Je zou de precieze definitie van limiet (of van de afgeleide, als het daar 'opgevangen' is) in je cursus eens moeten nakijken; het is bijvoorbeeld gebruikelijk om bij limieten niet enkel x-waarden 'in de buurt van a' te beschouwen (dus |x-a|<d voor een zekere d>0), maar in de buurt van a én in het domein van f (doorsnede nemen).
De limiet (van het differentiequotiënt, definitie afgeleide) in een randpunt van een functie gedefinieerd op een gesloten interval [a,b] valt dan automatisch samen met de linker- (in b) of rechterlimiet (in a) en indien die limiet (def. afgeleide) bestaat, noemt men dat dan ook de afgeleide in dat punt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 23:02

De precieze definitie van limiet uit mijn boek:

Geplaatste afbeelding

In mijn voorbeeld is het grootst mogelijke open interval waarin f(x) gedefinieerd is (-2,2). In dit open interval liggen niet de punten x=-2 en x=2, dus is deze definitie niet van toepassing wanneer a=-2 en a=2 (de grenspunten), lijkt mij.
Een andere definitie die wel geldig is voor de randpunten van het domein kan ik niet vinden, ook niet onder de definitie van de afgeleide.

Maar je uitleg is duidelijk, dit verklaart dan ook waarom f(x) maar één kritiek punt heeft.

Hartelijk dank!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 mei 2012 - 23:07

Een beetje slordig in de opbouw van de cursus, dan. Als dit de enige definitie is en er niets bijkomend over de afgeleide in een randpunt gezegd wordt (misschien iets zoals 'linker- en rechterafgeleide'?) bij de definitie van de afgeleide, dan vallen x=-2 en x=2 in jouw voorbeeld inderdaad uit de boot: geen afgeleide...

Maar wellicht is het 'bedoeld' zoals ik in m'n vorig bericht schreef.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Arie Bombarie

    Arie Bombarie


  • >250 berichten
  • 682 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 mei 2012 - 23:21

Het boek (Calculus Early Transcendentals, Stewart (2008) 6e editie) telt in totaal 1309 pagina's, dus wellicht wordt het wel ergens vermeld. In de secties met betrekking tot limieten en afgeleiden kan ik het echter niet terugvinden.

Ik weet in ieder geval genoeg, bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 mei 2012 - 23:22

Oké, graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures