Springen naar inhoud

PartiŽle afgeleide van |x| en |x - y|



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 09:10

"Ga voor volgende functies van R2 -> R na waar ze partieel afleidbaar zijn naar hun eerste en tweede variabele."

a) f: R2 -> R: (x,y) |-> |x|

b) f: R2 -> R: (x,y) |-> |x - y|

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dus bv. voor (a) dacht ik dat ik het best kan opsplitsen in 4 mogelijkheden:
Eerst en vooral herschrijven we het functie voorschrift naar:

f: R2 -> R: (x,y) |-> x (als x ≥ 0), -x (als x < 0)

D1f(0,y) = LaTeX = LaTeX = 1 LaTeX bestaat niet ∀ y ∈ R

D1f(x,y) = LaTeX

D1f(x,y)= LaTeX

D2f(x,y)= LaTeX = LaTeX = 0 ∀ x,y ∈ R


Ik vraag mij vooral af hoe werk ik deze D1f(x,y) verder uit ? :shock:

Veranderd door Biesmansss, 14 mei 2012 - 09:11

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2012 - 09:31

D1f(0,y) = LaTeX

= LaTeX = 1 LaTeX bestaat niet ∀ y ∈ R


Wat doe je hier? Hoezo |h| = h?

D1f(x,y) = LaTeX


Als x>0 is |x| = x en is |x+h| ook gelijk aan x+h als h voldoende klein is; dus dan geldt:

LaTeX

Voor x<0 kan je op dezelfde manier de partiële afgeleide bepalen. Het geval x=0 geeft aanleiding tot de limiet

LaTeX

En die...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 09:45

Als x > 0 krijgen we dus:

LaTeX

Als x < 0 krijgen we:

LaTeX

Als x = 0

LaTeX

Euhm ja, deze kan zowel naar 1 als -1 gaan dan ? Dus die bestaat niet ?

Veranderd door Biesmansss, 14 mei 2012 - 09:47

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2012 - 09:48

LaTeX



Euhm ja, deze kan zowel naar 1 als -1 gaan dan ? Dus die bestaat niet ?


Dat ('kan zowel gaan naar') klinkt wat vaag: de linkerlimiet is ..., de rechterlimiet is ... dus inderdaad: de limiet bestaat niet. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de variabele ... in het (de) punt(en) ... :).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 09:56

Dat ('kan zowel gaan naar') klinkt wat vaag: de linkerlimiet is ..., de rechterlimiet is ... dus inderdaad: de limiet bestaat niet. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de variabele ... in het (de) punt(en) ... :).


LL = -1, RL = 1 dus de limiet bestaat niet; want volgens de definitie moet deze limiet hetzelfde zijn voor elke rij Xk die naar a convergeert. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de eerste variabele in het punt (0, y) met y ∈ R.

Beter ? :D

En hoe pak ik net (b) aan ? De functie |x - y|.

Ga ik dan kijken naar:

D1f(0,y)
D1f(x,y)
D1f(x,0)


D2f(0,y)
D2f(x,y)
D2f(x,0)

Of niet ?

Veranderd door Biesmansss, 14 mei 2012 - 09:57

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2012 - 10:27

LL = -1, RL = 1 dus de limiet bestaat niet; want volgens de definitie moet deze limiet hetzelfde zijn voor elke rij Xk die naar a convergeert. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de eerste variabele in de punten (0, y) met y ∈ R.

Beter ? :D


Ja ;).

En hoe pak ik net (b) aan ? De functie |x - y|.

Ga ik dan kijken naar:

D1f(0,y)
D1f(x,y)
D1f(x,0)


D2f(0,y)
D2f(x,y)
D2f(x,0)

Of niet ?


De punten op de x-as en y-as zijn ook van de vorm (x,y), dus ik zou die gevallen met één coördinaat vast 0 niet per se apart beschouwen. Je zit met uitdrukkingen van de vorm

(|x-y+h|-|x-y|)/h

Naar analogie met opgave a kan je dus kijken naar punten waarvoor x-y > 0 (dus x > y) en dan naar punten waarvoor x-y < 0. Het 'interessante' geval zal x=y zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 11:37

Ja, ik begrijp het.
Aangezien de uitwerking hier equivalent is aan het voorgaande laat ik deze hier achterwegen en geef ik enkel het eind resultaat:

D1f(x,x) en D2f(y,y) bestaan niet, we krijgen weer een LL = -1 en RL = 1
D1f(x,y) = 1 (als x > y)
D1f(x,y) = -1 (als x < y)
D2f(x,y) = -1 (als x > y)
D2f(x,y) = 1 (als x < y)

Bedankt voor de hulp Tom !
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 mei 2012 - 11:54

Oké, graag gedaan (wat LL en RL zijn voor x=y, hangt wel af van welke partiële afgeleide; dat wisselt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures