Springen naar inhoud

Euclidische ringen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 20:42

Hallo allemaal,

Hopelijk kunnen jullie me verder helpen met de onderstaande vraag waar ik niet helemaal uitkom:

---

Laat zien dat LaTeX een Euclidische ring is.
LaTeX is zo'n ring als het aan twee voorwaarden voldoet:
1) het is een domein.
2) er bestaat een functie LaTeX met de eigenschap dat voor alle LaTeX met LaTeX elementen LaTeX bestaan zodat LaTeX met LaTeX of LaTeX

1) De verzameling is een domein als het een commutatieve ring is met eenheid LaTeX zonder nuldelers.
LaTeX voorzien van de bewerkingen + en * van C.

Ik weet hoe je moet aantonen dat de verzameling een abelse groep (mbt +) is en associatief, distributief en commutatief is (mbt *), dus dat ga ik nu niet doen.
LaTeX is trouwens LaTeX en LaTeX is LaTeX . Dus LaTeX .
Dus de verzameling betreft een commutatieve ring met eenheid LaTeX .

Ik kom in de problemen met het bepalen (eigenlijk uitsluiten) van nuldelers.
Laat LaTeX met LaTeX , dan is u een nuldeler als LaTeX , want het is commutatief (dus u is niet enkel een linkernuldeler als dat geldt).
Het lijkt me dat het hier de vermenigvuldiging betreft?
Laat LaTeX en LaTeX . Dan:
LaTeX
Dan moet dus gelden dat:
LaTeX
Als ik dit invoer in Wolfram Alpha krijg ik inderdaad dat u1, u2, v1 en/of imaginaire waarden moeten aannemen mochten ze niet 0 zijn. Dit is niet het geval, want het zijn reële getallen, dus er zijn geen nuldelers. Is dit een 'goed' antwoord?

Dus LaTeX is een domein. Dus voorwaarde 1 geldt.



Nu moet voorwaarde 2 gelden. De afbeelding moet dus de verzameling (met niet per se 0+0i) afbeelden op een niet-negatief geheel getal. Dus bijvoorbeeld:
LaTeX , met LaTeX .
Dan LaTeX en dit is een positief geheel getal.

Alleen heb ik geen idee hoe ik kan aantonen dat x = qy + r geldt.


---

Goed, een heel verhaal, maar hopelijk kunnen jullie me helpen.
Alvast bedankt!

- Fruitschaal.

Veranderd door Fruitschaal, 14 mei 2012 - 20:43


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 mei 2012 - 22:04

Controleren dat er geen nuldelers zijn kan eenvoudiger... In welk groter veld zit je ring? Wat zou dat dan betekenen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 22:31

Controleren dat er geen nuldelers zijn kan eenvoudiger... In welk groter veld zit je ring? Wat zou dat dan betekenen?

Deze zit in het complexe vlak en de verzameling van complexe getallen bevat geen nuldelers.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 mei 2012 - 22:35

Inderdaad. En zie je waarom dat helpt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 mei 2012 - 22:42

Bedankt trouwens voor je snelle reacties :)
Eh, ik denk dat je dan mag aannemen dat dat ook zo voor ringen over dat veld is. Maar wat het bewijs daarvoor is, weet ik niet.

Veranderd door Fruitschaal, 14 mei 2012 - 22:42


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 mei 2012 - 22:51

Stel eens dat er wel nuldelers zouden zijn. Wat dan?

Overigens een 'leuke' manier om naar dit te kijken: http://en.m.wikipedi...ir_of_periods#_
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2012 - 21:05

Dan zou het geen domein zijn, maar je bedoelt vast wat anders?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 mei 2012 - 22:46

Ik bedoel dat dan iets zou zeggen over het 'grotere' domein/veld. Dan zou dat namelijk...

Overigens, misschien de moeite om ook al eens te kijken naar je afbeelding. De afbeelding die je zal moeten nemen, is de absolute waarde van de norm. Akkoord?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 15:13

De norm is toch de functie die ik zelf al bedacht had? Waarom moet je daar per se de absolute waarde van nemen?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 15:17

De norm had je inderdaad zelf bedacht. Maar is die steeds positief? Waarom is positief belangrijk (bekijk je definitie van Euclidisch domein nog eens)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 15:24

De norm had je inderdaad zelf bedacht. Maar is die steeds positief? Waarom is positief belangrijk (bekijk je definitie van Euclidisch domein nog eens)?

Die is steeds positief (of nul), aangezien het de som is van twee kwadraten van gehele getallen, dus daarom lijkt de absolute waarde mij niet nodig.

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 15:32

Hmm, ja, ik had mis gekeken inderdaad. Op het eerste zicht heb je gelijk. We zien wel of die absolute waarde later toch nog nodig mocht zijn ;). Maar ik denk het niet.

Goed, je moet nu 2 zaken verifiëren:
  • als x deelt y, dan N(x) <= N(y). Triviaal; akkoord?
  • er bestaan q en r zodat x = yq + r en N(r ) < N(y) of r = 0.
Dat tweede vraagt wel wat werk en is allesbehalve triviaal. Enig idee hoe te beginnen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 16:14

Als x y deelt, dan betekent het sowieso dat x <= y. N is een monotoon stijgende functie, dus N(x) <= N(y).

Er moeten dus een q of r bestaan, zodat x geschreven kan worden als een lineaire combinatie van y, waarvoor geldt dat N® < N(y), dus r < y óf r = 0.

Ik zou het dan eerst bewijzen voor r = 0 (+ 0i):
Stel LaTeX , LaTeX en LaTeX

Dan:
LaTeX
Dus: LaTeX en LaTeX .

Na wat rekenwerk kom ik op:
LaTeX
LaTeX
Het probleem is nu dat ik niet weet hoe ik kan aantonen dat die ongeacht welke (gehele) waarde voor x en y je invult, p1 en p2 ook geheel zijn, dus ik vermoed dat deze manier niet goed is.

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 16:41

De kans dat je er komt, is reëel, maar het is zeker niet de eenvoudigste weg. Daarom een vraag aan jou: wil je hiermee verder (zonder garantie dat het lukt, moet ik nog eens bekijken), of heb je meer interesse in een elegantere aanpak, die makkelijk veralgemeenbaar is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 16:42

Ik heb natuurlijk meer interesse in een elegantere aanpak :P






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures