Hopelijk kunnen jullie me verder helpen met de onderstaande vraag waar ik niet helemaal uitkom:
---
Laat zien dat
\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}i]\)
een Euclidische ring is.[/b]\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}i]\)
is zo'n ring als het aan twee voorwaarden voldoet:1) het is een domein.
2) er bestaat een functie
\(f: \mathbb{Z}[\sqrt{2}i] - \{0\} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geq0}\)
met de eigenschap dat voor alle \(x, y \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}i]\)
met \(y \neq 0\)
elementen \(q, r \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}i]\)
bestaan zodat \(x = qy + r\)
met \(r = 0\)
of \(f(r) < f(y)\)
1) De verzameling is een domein als het een commutatieve ring is met eenheid \(1 \neq 0\)
zonder nuldelers.\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}i] = \{a + b\sqrt{2}i \in \mathbb{C}: a, b \in \mathbb{Z}\}\)
voorzien van de bewerkingen + en * van C.Ik weet hoe je moet aantonen dat de verzameling een abelse groep (mbt +) is en associatief, distributief en commutatief is (mbt *), dus dat ga ik nu niet doen.
\(0\)
is trouwens \(0 + 0i\)
en \(1\)
is \(1 + 0i\)
. Dus \(0 \neq 1\)
.Dus de verzameling betreft een commutatieve ring met eenheid
\(1 \neq 0\)
.Ik kom in de problemen met het bepalen (eigenlijk uitsluiten) van nuldelers.
Laat
\(u, v \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}i]\)
met \(u \neq 0 \neq v\)
, dan is u een nuldeler als \(uv = 0\)
, want het is commutatief (dus u is niet enkel een linkernuldeler als dat geldt).Het lijkt me dat het hier de vermenigvuldiging betreft?
Laat
\(u = u_1 + u_2\sqrt{2}i\)
en \(v = v_1 + v_2\sqrt{2}i\)
. Dan:\(uv = (u_1 + u_2\sqrt{2}i)(v_1 + v_2\sqrt{2}i) = u_1v_1 - 2u_2v_2 + (u_1v_2+u_2v_1)\sqrt{2}i = 0 + 0i\)
Dan moet dus gelden dat:\(u_1v_1 - 2u_2v_2 = 0, u_1v_2+u_2v_1 = 0\)
Als ik dit invoer in Wolfram Alpha krijg ik inderdaad dat u1, u2, v1 en/of imaginaire waarden moeten aannemen mochten ze niet 0 zijn. Dit is niet het geval, want het zijn reële getallen, dus er zijn geen nuldelers. Is dit een 'goed' antwoord?Dus
\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}i]\)
is een domein. Dus voorwaarde 1 geldt.Nu moet voorwaarde 2 gelden. De afbeelding moet dus de verzameling (met niet per se 0+0i) afbeelden op een niet-negatief geheel getal. Dus bijvoorbeeld:
\(f(x) = x*\overline{x}\)
, met \(x = x_1 + x_2\sqrt{2}i\)
.Dan
\(f(x_1 + x_2\sqrt{2}i) = x_1^2 + 2x_2^2\)
en dit is een positief geheel getal.Alleen heb ik geen idee hoe ik kan aantonen dat x = qy + r geldt.
---
Goed, een heel verhaal, maar hopelijk kunnen jullie me helpen.
Alvast bedankt!
- Fruitschaal.
. Maar ik denk het niet.
