[wiskunde] richtingsafgeleide

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 17-05-'12, 11:24

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

richtingsafgeleide

Betekenis van de gradiënt

"Beschouw een functie f: Rn -> R die partieel afleidbaar is in een open omgeving van een punt a ∈ Rn. Veronderstel dat de partiële afgeleiden D1f, ..., Dnf continu zijn in a. Uit propositie 5.6.2 weten we dat voor elke richting u ∈ Rn (met ||u|| = 1):

Duf(a) = D1f(a)u1 + D2f(a)u2 + ... + Dnf(a)un = <∇f(a), u>

We weten nu dat:

<∇f(a), u> = ||∇f(a)||.cos Θ

Waarbij Θ de hoek is tussen u en ∇f(a).

Indien Θ = 0, m.a.w. indien u de richting van ∇f(a) is, dan is Duf(a) maximaal, nl.

Duf(a) = ||∇f(a)||. De richting van ∇f(a) wijst dus aan in welke richting f het sterkst toeneemt; ||∇f(a)|| beschrijft dan hoe groot die sterkste toename is. ∇f(a) zal dus (in het geval n=2) loodrecht staan op de niveaulijnen van f en wijzen in de richting van toenemende functiewaarden."

Ik snap hoe het zit met de bewerkingen, maar ik begrijp niet echt wat nu net het doel is van die gradiënt ∇f(a); zou iemand mij hier wat meer uitleg over kunnen geven ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 17-05-'12, 13:37

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: richtingsafgeleide

Ik begrijp je vraag niet goed, het 'doel' van de gradiënt? De gradiënt heeft geen 'doel' ;) .

Kan je verduidelijken wat je wil weten?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-05-'12, 14:09

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: richtingsafgeleide

Goh, ik zou graag weten wat nu net de bedoeling is van de gradiënt, m.a.w. wat heb ik aan die gradiënt ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 17-05-'12, 14:14

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: richtingsafgeleide

Een paar zaken vind je al terug in de tekst die je citeert:

- de gradiënt geeft een eenvoudige manier om een richtingsafgeleide te berekenen (doe dat maar eens met de limiet-definitie, geen pretje),

- de gradiënt geeft de richting aan van de maximale stijging.

Verder is het een handig ding in notatie; stationaire punten vind je bv. waar grad(f) = 0, in plaats van met alle losse partiële afgeleide te werken. Die notatie komt ook handig van pas bij de methode van Lagrange-multiplicatoren voor gebonden extrema. Het is verder handig in de n-dimensionale veralgemening van de lineaire benadering en het speelt een grote rol bij conservatieve krachtvelden (lijnintegraal van grad(f) hangt enkel af van de waarde van f in de eindpunten). Dat zijn een paar dingen...

De gradiënt wordt ongetwijfeld verderop in je cursus toch ook gebruikt? Je kan eens gaan kijken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”