Springen naar inhoud

Hoofdideaal



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 17:52

Hopelijk kan ik weer geholpen worden met onderstaande vraag :)

---

Stel dat R een domein is. Toon aan dat (X, Y) geen hoofdideaal is van R[X,Y]. Een mogelijk stappenplan:
a) Vat R[X,Y] op als R[X][Y].
b) Neem aan dat (F) = (X, Y) voor een zekere LaTeX .
c) Stel dat LaTeX . Dan is F constant in Y.
d) Trek je conclusie (de tegenspraak).


a) Mocht (X, Y) wel een hoofdideaal zijn, dan geldt dat een ideaal (X,Y) maar door één element (x,y) wordt voorgebracht. Dit moet dus niet het geval zijn.
Het lijkt me dat R[X,Y] een veeltermring is? Dan geldt volgens inductie dat:
R[X,Y] = (R[X])[Y] = R[X][Y].

b) Oké, (F) = (X,Y).

c) LaTeX , dus LaTeX , dan is X dus deelbaar door F.
Eigenlijk begrijp ik niet wat ik nu aan het doen ben en hoe ik verder moet gaan.

---

Alvast bedankt voor eventuele hulp :)

Veranderd door Fruitschaal, 18 mei 2012 - 17:54


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 18:20

Misschien is het dan beter om, voor het stappenplan uit te werken, te begrijpen wat dat stappenplan doet en waarom het je naar de oplossing brengt? Je opvatting van R[X, Y] is alvast in se juist :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 18:32

Ik begrijp het stappenplan ook nog niet.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 18:37

Okee. Ze gaan dus te werk gaan uit contradictie. Ze zeggen: stel dat er een F bestaat in R[X, Y] zodat (F) = (X, Y). Omdat X in (X, Y) zit, zou dan dus ook X in (F) moeten zitten. Laten we even aannemen dat we weten dat dan F constant moet zijn in Y. We kunnen nu de rol van X en Y wisselen en vinden dat F ook constant moet zijn in X. Dus F moet gewoonweg constant zijn. Zonder verlies verlies van algemeenheid, kunnen we dan stellen dat F = 1. Dit moet ons tot een contradictie brengen.

Zeer veel gaten nog in dit verhaal. Laten we ze opvullen ;). Waarom moet F constant zijn in Y? Eens je dat ziet, is het omgekeerde (constant in X) een trivialiteit.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 18:43

Wat betekent het als F constant is in Y?

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 18:46

Dat F eigenlijk gewoon geen Y heeft. Dus dat F, ondanks dat hij a priori een veelterm in X en Y is, enkel een veelterm in X is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:15

Hoe ziet R(X,Y) er eigenlijk uit? Ik weet dat LaTeX , maar met (X,Y)?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:23

Wel, LaTeX is zo'n algemeen element. Maar vergeet niet dat het R[X, Y] is niet R(X, Y).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:29

Oké. De machten van X, Y en XY hoeven dus niet gelijk te 'eindigen'?

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:36

Nee, die mogen inderdaad verschillen. En zullen dat in het algemeen ook.

Maar snap je de opzet van het bewijs nu?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:49

De opzet begin ik te begrijpen (voornamelijk door je verhaaltje).
(F) = {fr | r in R} met R = R[X,Y], toch?

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:52

Dat klopt ja :). Al bedoel je met f waarschijnlijk F, maar goed. En uiteraard is mijn verhaaltje niet volledig. Op het einde schrijf ik het wel eens volledig op. Maar eerst willen we de gaten wat vullen. Zie je hoe te beginnen aan dat eerste? Namelijk: F is constant in Y.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:58

Ja, klopt.

LaTeX als ik me niet vergis?
F bevindt zich in R[X,Y], dus stel LaTeX . Dan heeft F toch wel een Y (ik weet dat dat a priori zo is, maar ik zie niet hoe je die Y zomaar weg zou kunnen laten)?

Veranderd door Fruitschaal, 18 mei 2012 - 19:58


#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 mei 2012 - 19:59

Dat is dan ook te bewijzen hè ;). Wat betekent het dat X in (F) zit? Schrijf dat eens op.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 20:03

Als X in (F) zit, dan kan (F) dus niet uit termen met Y bestaan, toch?






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures