---
Stel dat R een domein is. Toon aan dat (X, Y) geen hoofdideaal is van R[X,Y]. Een mogelijk stappenplan:
a) Vat R[X,Y] op als R[X][Y].
b) Neem aan dat (F) = (X, Y) voor een zekere
\(F \in R[X,Y]\)
.c) Stel dat
\(X \in (F)\)
. Dan is F constant in Y.d) Trek je conclusie (de tegenspraak).[/b]
a) Mocht (X, Y) wel een hoofdideaal zijn, dan geldt dat een ideaal (X,Y) maar door één element (x,y) wordt voorgebracht. Dit moet dus niet het geval zijn.
Het lijkt me dat R[X,Y] een veeltermring is? Dan geldt volgens inductie dat:
R[X,Y] = (R[X])[Y] = R[X][Y].
b) Oké, (F) = (X,Y).
c)
\(X \in (F)\)
, dus \(X \in (X,Y)\)
, dan is X dus deelbaar door F.Eigenlijk begrijp ik niet wat ik nu aan het doen ben en hoe ik verder moet gaan.
---
Alvast bedankt voor eventuele hulp
. Waarom moet F constant zijn in Y? Eens je dat ziet, is het omgekeerde (constant in X) een trivialiteit.