Springen naar inhoud

Oefeningen richtingsafgeleiden



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2012 - 18:42

"Beschouw de functie:

f: R2 -> R: (x, y) |->

(x.y) / (x2 + y2) als (x, y) ≠ (0, 0)

0 als (x, y) = (0, 0)


Volgens welke richtingen is deze functie afleidbaar in het punt (0, 0) ?"

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"Beschouw de functie:

f: R2 -> R: (x, y) |->

x3 / (x2 + y2) als (x, y) ≠ (0, 0)
0 als (x, y) = (0, 0)

Ga na dat f afleidbaar is in (0, 0) volgens elke richting u en bereken ook de richtingsafgeleiden in (0, 0). Toon aan dat f desalniettemin geen eerste ordebenadering heeft in (0, 0). Probeer dit fenomeen ook te begrijpen door naar de grafiek van f te kijken."


Iemand een idee hoe aan deze oefeningen te beginnen ?

Dank bij voorbaat!

Veranderd door Biesmansss, 18 mei 2012 - 18:43

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 mei 2012 - 09:31

De basisoplossingen voor deze twee oefeningen heb ik ondertussen zelf toch al gevonden.
Voor de tweede oefening vraag ik mij echter nog wel af hoe ik moet tonen dat deze geen eerste orde benadering heeft in (0, 0) ?
Dus:

g: R2 -> R: f(0, 0) + D1f (x - 0) + D2f(y -0)

D1f = LaTeX

D2f = LaTeX

Kunnen we dan besluiten dat deze niet bestaat omdat we 0 in de noemers van de partiële afgeleiden krijgen ?

Veranderd door Biesmansss, 19 mei 2012 - 09:32

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 mei 2012 - 14:42

Nee, want als deel 1 gelukt is heb je daar gezien dat de partiële afgeleiden wel bestaan. Uit de uitdrukkingen hierboven kan je misschien afleiden dat ze echter niet continu zijn in (0,0).

Het bestaat van de partiële afgeleide is niet voldoende om te kunnen besluiten tot differentieerbaarheid en ik vermoed dat het bestaan van een lineaire benadering (in een punt) in je cursus equivalent is met differentieerbaarheid (in dat punt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 mei 2012 - 16:33

Het eerste deel van de tweede oefening hierboven heb ik op de volgende manier gedaan:

We stellen eerst gu(t): R -> R op:

gu(t): R -> R: f(a + tu)

gu(t) = LaTeX

Aangezien we weten dat ||u|| = 1, weten we dat u12 + u22 = 1 dus krijgen we:

gu(t) = t.u13 als t ≠ 0

gu(t) = 0 als t = 0

Wat dus uiteindelijk gewoon neer komt op:

gu(t) = t.u13

We weten dat deze afleidbaar is voor alle u, dus dat we de functie f afleidbaar is volgens elke richting.

Veranderd door Biesmansss, 19 mei 2012 - 16:33

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures