[wiskunde] Poolcoördinaten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 682

Poolco

Goedendag,

De vraag; schets het volgende, in poolcoördinaten gegeven, gebied D={
\(\theta\leq \pi\)
en
\(\frac{3\pi }{4}\leq \theta\)
en
\(r\leq 2\)
}.

Het antwoord zoals gegeven (in zwart):

Afbeelding

Het aangegeven domein (in zwart), is volgens mij geldig voor: D={
\(\theta\leq \pi\)
en
\(\frac{3\pi }{4}\leq \theta\)
en
\(0\leq r\leq 2\)
}, maar komt volgens mij niet overeen met het gegeven domein.

Het domein voor D={
\(\theta\leq \pi\)
en
\(\frac{3\pi }{4}\leq \theta\)
en
\(r\leq 2\)
} omvat volgens mij namelijk óók het rood gemarkeerde gedeelte. Het aangegeven poolcoördinaat (-3,3pi/4), voldoet bijvoorbeeld aan de beschrijving van het gegeven domein, zover ik weet althans.

Kan iemand dit bevestigen? Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Poolco

Theta is in jouw rood gemarkeerde gebied toch gelegen tussen 7/4 pi en 2pi? En dus voldoet het niet aan de opgegeven beschrijving (theta < pi)?

Hangt wel af van de conventie voor r.

Of zie ik iets over het hoofd?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Poolco

Ik denk dat Arie Bombarie gelijk heeft. Als r ook negatief mag zijn , klopt volgens mij de tekening.

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Poolco

'r' mag zover ik weet ook negatief zijn (net als theta overigens).

In mijn boek staat het volgende over een negatieve 'r':
We extend the meaning of polar coordinates (r, theta) to the case in which r is negative by agreeing that the points (-r, theta) and (r, theta) lie on the same line through O and at the same distance |r| from O, but on opposite sides of O.
Vandaar dat volgens mij het rode gebied ook tot het domein D behoort.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Poolco

Lijkt mij helemaal juist

Berichten: 264

Re: Poolco

De straal negatief !? Dat lijkt me niet. De tekst die je hierboven citeert lijkt me onjuist of onhandig geformuleerd - http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Poolco

Soms wordt een negatieve straal toegelaten. Wanneer je poolbaan door de oorsprong gaat en enkel positieve r toegelaten zijn, heb je een discontinuïteit in
\(\theta(t)\)
. Die discontinuïteit kan je voorkomen door ook negatieve r te beschouwen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Poolco

Axioma, op Wikipedia staat hier het volgende over geschreven:

Uniqueness of polar coordinates

Adding any number of full turns (360°) to the angular coordinate does not change the corresponding direction. Also, a negative radial coordinate is best interpreted as the corresponding positive distance measured in the opposite direction. Therefore, the same point can be expressed with an infinite number of different polar coordinates (r, θ ± n×360°) or (−r, θ ± (2n + 1)180°), where n is any integer.[10] Moreover, the pole itself can be expressed as (0, θ) for any angle θ.

Where a unique representation is needed for any point, it is usual to limit r to non-negative numbers (r ≥ 0) and θ to the interval [0, 360°) or (−180°, 180°] (in radians, [0, 2π) or (−π, π]).[12] One must also choose a unique azimuth for the pole, e.g., θ = 0.
Oftewel, in gevallen waarbij je een unieke representatie (coördinaat) van een punt nodig hebt, dan is het (uiteraard) noodzakelijk de mogelijke waarden voor 'r' en 'theta' te beperken.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Berichten: 264

Re: Poolco

Excuses - ik was te naief door aan te nemen dat de poolcoordinaten die ik voorbij heb zien komen "de" poolcoordinaten waren. Over die discontinuiteit heb ik nooit nagedacht, maar dat is wel een goed argument om die r<0 te introduceren..

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Poolco

ZVdP schreef: vr 18 mei 2012, 23:58
Soms wordt een negatieve straal toegelaten. Wanneer je poolbaan door de oorsprong gaat en enkel positieve r toegelaten zijn, heb je een discontinuïteit in
\(\theta(t)\)
. Die discontinuïteit kan je voorkomen door ook negatieve r te beschouwen.
Bedankt voor je reactie.

Zou je dit misschien a.d.h.v. een (eenvoudig) voorbeeld kunnen toelichten? Ik zie namelijk niet zo snel in hoe een dergelijke discontinuïteit verholpen wordt wanneer negatieve r toegelaten worden.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Berichten: 264

Re: Poolco

Laat een pad door de oorsprong gaan. Dan begin je met willekeurige r>0 en voor nu een vaste hoek
\(\theta\)
. Bij het passeren van de oorsprong klapt de hoek om naar
\(\theta+\pi\)
(discontinu) met r>0 nog steeds. Laat i.p.v. die hoek om te klappen r <0 toe. Dan blijft de hoek op dat omklapmoment dus
\(\theta\)
(met negatieve straal) en die functie continu.

Tenminste - dat is wat ik er van kan maken. Bevestiging/weerlegging gewenst.

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Poolco

Je beredenering lijkt me inderdaad te kloppen.

Echter blijft ook in dat geval de oorsprong - coördinaat
\((\theta,0)\)
- een "probleempunt", omdat in dit geval er geen unieke representatie is. Oftewel, je zou ook kunnen zeggen dat in jou geval je voor het passeren van de oorsprong een vaste hoek
\(\theta \)
hebt, ín de oorsprong een hoek
\( \theta = 0\)
en na het passeren van de oorsprong weer een vaste hoek
\( \theta \)
, maar dan met een negatieve waarde r. Op deze manier blijf je de discontinuïteit behouden.

Oftewel, in dat geval zou je denk ik ook moeten afspreken dat het coördinaat van de oorsprong
\(\theta ,0\)
is, waarin
\( \theta \)
gelijk is aan de hoek voor het passeren van de oorsprong (eventueel met het limiet r-> 0), om een continue functie te garanderen.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Reageer