[wiskunde] Zadelpunt
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.201
Zadelpunt
"Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> R die gedefinieerd is op een open A ⊆ Rn. Veronderstel dat f een zadelpunt heeft in a ∈ A en partieel afleidbaar is in a. Toon aan dat a een kritiek punt is van f."
Iemand een idee ?
Iemand een idee ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 264
Re: Zadelpunt
Noteer eens de def. van een zadelpunt en een kritiek punt. Deze vraag is een beetje flauw - volgens mij volgt het direct uit de definitie..
- Berichten: 1.201
Re: Zadelpunt
Zadelpunt:
gu: R -> R: t ||-> gu(t) = f(a + tu)
∀u ∈ Rn heeft gu in t = 0 een extremum en als er u1 ≠ 0 ≠ u2 bestaan zodat gu1 = lokaal maximum en gu2 = lokaal minimum dan is het punt a een zadelpunt van f.
Kritiek punt:
Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> R gedefinieerd op een open verzameling A. Veronderstel dat f een lokaal extremum bereikt in een a ∈ A en dat f partieel afleidbaar is in a. Dan moet D1f(a) = D2f(a) = ... = Dnf(a) = 0.
gu: R -> R: t ||-> gu(t) = f(a + tu)
∀u ∈ Rn heeft gu in t = 0 een extremum en als er u1 ≠ 0 ≠ u2 bestaan zodat gu1 = lokaal maximum en gu2 = lokaal minimum dan is het punt a een zadelpunt van f.
Kritiek punt:
Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> R gedefinieerd op een open verzameling A. Veronderstel dat f een lokaal extremum bereikt in een a ∈ A en dat f partieel afleidbaar is in a. Dan moet D1f(a) = D2f(a) = ... = Dnf(a) = 0.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 264
Re: Zadelpunt
Hm ik kan slecht door de notatie heenlezen. Ik heb vaak gewerkt vanuit: "Definitie: Een inwendig kritisch punt van de functie f heet een zadelpunt als f in dat punt noch een lokaal maximum, noch een lokaal minimum is."
Volgens mij is dat niet de def. van een kritiek punt. Je zegt daar dat alle partiele afgeleiden 0 zijn in een extremum, maar een kritiek punt in niet per se een extremum...?
Volgens mij is dat niet de def. van een kritiek punt. Je zegt daar dat alle partiele afgeleiden 0 zijn in een extremum, maar een kritiek punt in niet per se een extremum...?
- Berichten: 24.578
Re: Zadelpunt
Dit kan niet de definitie van een kritiek punt zijn... Het begrip 'kritiek punt' komt er niet eens in voor?Biesmansss schreef: ↑za 19 mei 2012, 14:07
Kritiek punt:
Beschouw een functie f: A ⊆ Rn -> R gedefinieerd op een open verzameling A. Veronderstel dat f een lokaal extremum bereikt in een a ∈ A en dat f partieel afleidbaar is in a. Dan moet D1f(a) = D2f(a) = ... = Dnf(a) = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 1.201
Re: Zadelpunt
Klopt, ik heb mij vergist omdat de definitie van een kritiek punt blijkbaar net onder de Propositie van een lokaal extremum staat.TD schreef: ↑za 19 mei 2012, 15:33
Dit kan niet de definitie van een kritiek punt zijn... Het begrip 'kritiek punt' komt er niet eens in voor?
Kritiek punt:
Een punt a waarvoor Djf(a) = 0 voor alle j = 1, ..., n noemt men een kritiek punt van f.
Deze klopt wel ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 264
Re: Zadelpunt
Ja, dat lijkt er meer op. Dan gaat het beantwoorden van de vraag vast ook een stuk makkelijker.
P.S. "dat lijkt er meer op", omdat de def. iets algemener kan, maar dat maakt voor deze opgave niet uit.
P.S. "dat lijkt er meer op", omdat de def. iets algemener kan, maar dat maakt voor deze opgave niet uit.
- Berichten: 1.201
Re: Zadelpunt
Is het dan niet zo dat uit de definitie van een zadelpunt volgt dat:
g'(0) = 0 = Duf(a) ∀u ∈ Rn
Wat equivalent is met
Djf(a) = 0 voor j = 1, ..., n
g'(0) = 0 = Duf(a) ∀u ∈ Rn
Wat equivalent is met
Djf(a) = 0 voor j = 1, ..., n
\( \to \)
zadelpuntThe ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes