Springen naar inhoud

Isolatiepunt(S) = rand(S)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

ubll

    ubll


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 mei 2012 - 16:36

Er bestaan deelverzamelingen S van R^n waarvoor geldt dat iso(S) = rand(S)

Bewijs:
Met a, een punt Ä iso(S), geldt dat de doorsnede van B(a,epsilon) met S ledig is (dit is de definitie van een isolatiepunt). Ook geldt er dat de doorsnede van B(a, epsilon) met het complement van S ledig is. Deze laatste zin versta ik echter niet. Je zou toch juist wel punten moeten vinden?

Dit alles zou dan als gevolg hebben dat a met zijn omgeving niet in S zou mogen liggen en ook niet in het complement van S, maw a kan enkel op de rand van S liggen. Bewezen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Kravitz

    Kravitz


  • >1k berichten
  • 4042 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 mei 2012 - 21:16

Iemand die hier een handje kan toesteken?
"Success is the ability to go from one failure to another with no loss of enthusiasm" - Winston Churchill

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 mei 2012 - 21:36

Wat is de precieze definitie van iso(S)? Is a een element van S? Want dan heeft B(a,e) met S toch het punt a gemeen? Of bevat B dat punt niet?

Ook het bewijs oogt vreemd. Kan je dat eens letterlijk geven, samen met de gehanteerde definities van de begrippen die erin voorkomen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

ubll

    ubll


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 00:02

iso = een geisoleerd punt
Ja a behoort tot S en dus heeft B(a,epsilon) inderdaad een punt met S gemeenschappelijk. Nu is mijn bewijs eraan :( .
Ik ga het proberen te herformuleren:
De voorwaarde om een rand te hebben is:
LaTeX

Neem nu een punt a dat een geisoleerd punt is van S, dan moet er een epsilon bestaan waarvoor:
LaTeX
Dus de eerste voorwaarde voor een rand is al voldaan. En ook is: LaTeX
(Dit laatste weet ik niet echt te verklaren, is dit ook echt nodig?)

Dus de twee voorwaarden van een rand zijn vervuld. Het isolatiepunt is een rand van S. Is dit een geldig bewijs?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 07:42

Ja maar dan heb je me nog steeds niet de formele definitie van een isolatiepunt gegeven. Want want je eerst schreef, lijkt me niet te kunnen kloppen: als a in S zit heeft B(a,e) met S altijd minstens a gemeen! Dus die doorsnede is nooit ledig. Ik vermoed dat a een isolatiepunt is als er een e>0 bestaat zodat de doorsnede van B(a,e) enkel a is.

Nu zoek je dus een verzameling waarvoor alle isolatiepunten precies samenvallen met alle randpunten. Kan je je daar intuïtief iets bij voorstellen? Merk op dat het hier volstaat om een voorbeeld van een dergelijke verzameling S te vinden om deze stelling te bewijzen (want van de vorm 'er bestaat...')
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

ubll

    ubll


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 08:38

- Ja inderdaad, mijn eerste definitie van een geisoleerdpunt was fout.
- Misschien een verzameling bestaande uit singletons? Dus dan zou ik aan mijn laatste bewijs nog moeten toevoegen dat de rand van een singleton het singleton zelf is?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 08:51

Dat is een goed idee en maak het jezelf gemakkelijk, het volstaat immers om één concreet voorbeeld te geven van een dergelijke S; bijvoorbeeld S = {0} (de nulvector in Rn). Het (enige) isolatiepunt is ... en de rand is ... :).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures