Weierstrass impliceert dat we een compacte deelverzameling nodig hebben (dus gesloten en begrensd):
gesloten betekend met rand en begrensd. Hoe toon ik beide aan? Moet ik voor begrensdheid een goniometrische ongelijkheid oplossen?
Tweede vraag lukte me iets beter:
Bolzano impliceert een continuee functie f in de samenhangende deelverzameling van R^n.
f is continu (gegeven) en samenhangend betekend dat er een polygonale lijn tussen 2 punten van haar domein moet liggen. Een polygonale lijn impliceert een compacte deelverzameling, dus moet ik testen of het domein gesloten en begrensd is. Begrensd is ze, maar gesloten?
1. Klopt (gesloten want het bevat al zijn randpunten, de punten van de cirkel x²+y² = 1).
2. Kan je de precieze formulering geven van de stelling die jullie '(van) Bolzano' noemen? Vermoedelijk in de stijl: het bereik omvat minstens ]f(1,1,2),f(5,3,8[ = ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Zij f: S -> R continu in de samenhangende deelverzameling S van R^n. Zij a en b punten in S, en zij alpha een reeel getal waarvoor f(a)<alpha<f(b). Dan bestaat er een punt c € S waarvoor f(c) = alpha. Maw de functie f neemt elke waarde tussen f(a) en f(b) in S minstens één keer aan.
Hmm, ik dacht dat een samenhangende verzameling betekende dat er een polygonale lijn tussen 2 punten van haar domein moest liggen. Een polygonale lijn impliceert een compacte deelverzameling, dus moet ik testen of het domein gesloten en begrensd is.Maar die geslotenheid vormt denk ik hier wel een probleem?
Dus je functie moet waarden aannemen: ]f(1,1,2),f(5,3,8)[ dan moeten die 5,3 en 8 toch tot je domein behoren? Wat ze duidelijk niet doen.
Trouwens, over die eerste vraag, ik wil geen chaos creeren maar klopt het volgende:
De functie 1/(x²-y²) bereikt op de verzameling (x-3)²+(y-1)²=1 een minimale en maximale waarde?
Dit is opnieuw weierstrass. Ik heb het domein onderzocht en dus moest ik x=y uitsluiten. Ik heb y gelijkgesteld aan x en dit ingevuld in (x-3)²+(y-1)²=1. Dit gaf geen reele nulpunten en dus besluit ik daaruit dat de functie continu is op haar domein. Nu moet ik nog kijken of de verzameling compact is (dus begrensd en gesloten). Gesloten is dus met rand, en ik vermoed dat dit gesloten is omdat het een ellips is en dus ook begrends is omdat het het een ellips is. Klopt deze redenering? Dan ben ik voor wat weierstrass betreft mee.
ubll schreef: ↑ma 21 mei 2012, 01:32
Hmm, ik dacht dat een samenhangende verzameling betekende dat er een polygonale lijn tussen 2 punten van haar domein moest liggen. Een polygonale lijn impliceert een compacte deelverzameling, dus moet ik testen of het domein gesloten en begrensd is.
Compact is niet nodig; misschien moet je de definitie van 'samenhangend' nog eens nakijken. Het gegeven domein is wel degelijk (boog/pad)samenhangend, maar inderdaad niet gesloten (wel begrensd).
ubll schreef: ↑ma 21 mei 2012, 01:32
Trouwens, over die eerste vraag, ik wil geen chaos creeren maar klopt het volgende:
De functie 1/(x²-y²) bereikt op de verzameling (x-3)²+(y-1)²=1 een minimale en maximale waarde?
Dit is opnieuw weierstrass. Ik heb het domein onderzocht en dus moest ik x=y uitsluiten. Ik heb y gelijkgesteld aan x en dit ingevuld in (x-3)²+(y-1)²=1. Dit gaf geen reele nulpunten en dus besluit ik daaruit dat de functie continu is op haar domein.
Goed.
ubll schreef: ↑ma 21 mei 2012, 01:32
Nu moet ik nog kijken of de verzameling compact is (dus begrensd en gesloten). Gesloten is dus met rand, en ik vermoed dat dit gesloten is omdat het een ellips is en dus ook begrends is omdat het het een ellips is. Klopt deze redenering? Dan ben ik voor wat weierstrass betreft mee.
De verzameling is inderdaad begrensd (want volledig omvat in een grotere cirkel, bijvoorbeeld) en gesloten (want alle randpunten - dit zijn de punten van de ellips zelf - zijn element van de ellips).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
