Springen naar inhoud

kans op alle mini's albert heijn


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jaarjen

    jaarjen


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 mei 2012 - 12:08

Er zijn 40 verschillende mini's bij de albert heijn te verkrijgen. bij elke 15 euro boodschappen krijg je er één. Er van uitgaande dat je alleen maar boodschappen doet van 15 euro en dat elke mini even zeldzaam is, hoeveel euro moet je dan minimaal uitgeven zodat je 95% kans hebt dat je ze alle 40 krijgt?

groetjes arjen

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Benm

    Benm


  • >5k berichten
  • 8803 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 mei 2012 - 14:12

Ik gok op meer boodschappen dan je in je hele leven doet :)
Victory through technology

#3

kee

    kee


  • >250 berichten
  • 389 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 mei 2012 - 19:50

Ik heb niet echt een oplossing, maar om een idee te hebben:

Intuïtief: gemiddeld 171x15 euro om ze alle te hebben (ik denk intuïtief aan de som van 40/i voor i van 40 tot en met 1 aflopend om aan 171 te komen, maar of dit klopt weet ik niet).

Om dan 95% kans te hebben heb ik niet meteen een idee, hoewel ik intuïtief denk aan 2 tot 3 keer dit bedrag (losweg gebaseerd op het feit dat als er nog 1 ontbreekt je 118x15 euro zal moeten spenderen om deze met 95% zekerheid te hebben).

#4

hanzwan

    hanzwan


  • >100 berichten
  • 132 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 mei 2012 - 20:13

Dit is een variant op het verzamelaarsprobleem. Ik zal een klein beetje toewijden en daarna het verwachte aantal keer dat je boodschappen moet kopen berekenen. De 95% interval weet ik eigenlijk ook niet omdat het een vrij exotische kansverdelingsfunctie is waar ik me niet verder in heb verdiept. Je zou d.m.v chebbyshevs regel enigszins een betrouwbaarheidsinterval eraan kunnen binden. De 'oplossing':

Laat X: het aantal keren boodschappen nodig om ze allemaal te hebben.
We gaan X niet zelf uitrekenen maar we definiëren nu een Y:
Y(i): Het aantal boodschappen die nodig zijn om van (i-1) naar (i) verschillende mini's te gaan. i uit de verzameling 1 t/m 40.

X kunnen we nu dus schrijven als: X=Y(1)+Y(2) +....+ Y(40)

Nu kunnen we de Verwachting van Y(i) via de geometrische verdeling berekenen. We hebben namelijk Succes (Kans = p) en Mislukking (kans: 1-p) ........*(succes=het hebben van een mini)

Omdat de uitkomsten onafhankelijk van elkaar zijn (redelijk goede aanname) kunnen we de kans op k-1 keer geen nieuwe gevolgd door de k'de keer wel een nieuwe geometrisch berekenen met: (1-p)^k-1 *p

Nu gaan we p(i) iets beter definiëren: laat p(i) de kans zijn dat de volgende keer boodschappen zorgt voor een niuew mini die we nog niet hadden, gegeven dat er al i-1 verschillende mini's in het eigen bezit zijn. Dan is de kans p(i) gelijk aan n-(i-1) /n of in dit geval: 40-(i-1)/40**

**: er zijn 40 verschillende mini's en we hebben er al i-1 dus de kans op een nieuwe is als boven genoteerd.

Nu kunnen we de distributie functie van Y(i) volledig definieren:

P(Y(i)=k) = [1-p(i)]^k-1 * p(i) voor alle k=1,2...
Nu willen we hiervan de verwachting via de definitie van de verwachting berekenen:
voor i: 1,2...40;
E(Y(i))= p(i) +2 * (1-p(i))*p(i) +3 * (1-p(i))^2 *p(i)+..... enz enz

Dit kunnen we gelukkig wat netter schijven: het is namelijk gelijk aan:
p(i)/ {[1-(1-p(i)]^2} = n/ (n-i+1)

De verwachting van X kan nu berekent worden omdat het de som is van alle Y(i) , i = 1 t/m 40
E(X)= ... dit is een lange som maar deze kan door middel van wat algebra en het toepassen van eulers constante worden geschreven als:
bij benadering; n ln(n)+(eulers constante) *n + 1/2

In dit geval is n = 40 dus krijgen we ongeveer 171.144.

Dus inderdaad verwachten we ongeveer 171 keer nodig te hebben. Knappe intuïtie van Kee:)

Zoals al eerder gezegd is dit een vrij exotische distributie functie waarvan ik totaal geen idee heb hoe deze zich gedraafd m.b.t cumulatieve kansen etc. Dit zou je in een omgeving als matlab moeten testen om een interval te geven. Intuitief ben ik het met Kee eens.

Veranderd door hanzwan, 20 mei 2012 - 20:15


#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 11:31

De vorige twee posters geven gewoon de verwachtingswaarde van het aantal boodschappen dat je moet doen (wat natuurlijk de som is van alle verwachtingswaarden per miniproduct). De vraag is denk ik echter hoeveel boodschappen je moet kopen om een kans van 95% te hebben om alle miniproducten te hebben. Hiervoor is het inclusion-exclusion principle te gebruiken. Er geldt dan:
LaTeX
waarbij N het aantal boodschappen is dat je koopt. Als je nu N vergroot totdat je over de 95% grens gaat dan vind je N=264. Je moet dus 3960 euro uitgeven om die kans te hebben.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures