Springen naar inhoud

Toon aan: |sin a - sin b| ≤ |a - b|



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 17:44

"Toon aan dat voor alle a, b ∈ R geldt dat |sin a - sin b| ≤ |a - b|."

Iemand een idee hoe hieraan te beginnen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 18:51

Dit zou een toepassing kunnen zijn op de middelwaardestelling; heb je die gezien of is dat niet de bedoeling?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:04

Die heb ik gezien en het is de bedoeling dat we deze hier gebruiken; maar ik zie niet onmiddelijk hoe dit moet.

Veranderd door Biesmansss, 21 mei 2012 - 20:05

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:05

Geef de middelwaardestelling eens; als je er verschillende gezien hebt, de variant met één functie.
Welke functie zou hier nuttig zijn? Past de middelwaardestelling er eens op toe, wat geeft dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:17

Rolle:

"Zij f: [a, b] -> R een continue functie op een begrensd gesloten interval [a, b]. Veronderstesl dat f afleidbaar is in ]a, b[ en dat f(a) = f(b). Dan bestaat er een c ∈ ]a, b[ zodat f'© = 0."

Lagrange:

"Zij f: [a, b] -> R een continue functie op een begrensd gesloten interval [a, b] die afleidbaar is in ]a, b[. Dan bestaat er een c ∈ ]a, b[ zo dat:

LaTeX "

Als één van de twee diegene is die we gaan gebruiken, dan vermoed ik dat we gebruik gaan maken van Lagrange en de functie f(x): R -> R: x |-> sin x. Ik zit nu enkel in de knoop met de intervallen; ik denk echter wel dat het ongeveer op de volgende manier 'begint'.

f'(x) = cos x

We weten d.m.v. de middelwaardestelling van lagrange dat:

LaTeX
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:21

Er bestaat dus een x tussen a en b zodat

LaTeX

En dus ook zodat


LaTeX

Maar wat weet je van |cos(x)|?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:24

Er bestaat dus een x tussen a en b zodat

LaTeX



En dus ook zodat


LaTeX

Maar wat weet je van |cos(x)|?


Van |cos x| weten we dat deze tussen 0 en 1 ligt.

Dus

|sin a - sin b| = |cos x| . |a - b|

Waaruit onmiddelijk volgt dat

|sin a - sin b| ≤ |a - b|

Maar hoe zit het met de intervallen ? In de def. staat nl. wel "...begrensd gesloten interval [a, b] die afleidbaar is in ]a, b[..."

Maar R is toch geen begrens, gesloten interval ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:25

"Toon dat voor alle a,b in R geldt..."

Kies dus a en b in R, willekeurig maar vast. Beschouw dan het gesloten interval [a,b] en pas de middelwaardestelling toe zoals hierboven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures