Springen naar inhoud

Toon aan: |tan b - tan a| ≤ 2.|b - a|



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:46

"Toon aan dat voor alle LaTeX geldt dat |tan b - tan a| ≤ 2.|b - a|."

Ik moet hier hoogstwaarschijnlijk weer werken met de middelwaardestelling van Lagrange.

Eerst stellen we de functie op:

f: R -> R: x |-> LaTeX

LaTeX

Maar nu ?

Veranderd door Biesmansss, 21 mei 2012 - 20:48

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:49

Je vorige (gelijkaardige) vraag zou inspiratie moeten bieden... Kan je niet beginnen?

Ik zie nu je aanpassingen pas; dus:

LaTeX



Maar nu ?


Wat zegt de middelwaardestelling dus? Kan je deze afgeleide 'afschatten'? Let op het interval.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:51

Je vorige (gelijkaardige) vraag zou inspiratie moeten bieden... Kan je niet beginnen?


Ja ik dacht eerst aan

LaTeX

Hieruit volgt

LaTeX

f'(x) = 2 in -pi/4 en pi/4

Maar hoe moet het dan verder ?
Mogen we gewoon besluiten dat de cos in dit interval ligt tussen LaTeX ?

Dus dat hieruit volgt dat f'(x) ligt tussen 0 en 2. Bijgevolg geldt het bovenstaande ?

Veranderd door Biesmansss, 21 mei 2012 - 20:54

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:53

Lagrange zegt dat er een x bestaat tussen -pi/4 en pi/4 zodat (ik voeg de absolute waarden al toe):

LaTeX

Voor de afschatting zoek je nu een bovengrens voor sec²x op het interval [-pi/4,pi/4] zodat je kan zeggen:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 20:56

De kleinste bovengrens voor sec2 x is 2, maar hoe toon ik dit eenvoudig aan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 21:00

Misschien vind je het makkelijker om te tonen dat cos²x op dat interval 1/2 als ondergrens heeft? Dan volgt dat sec²x = 1/cos²x als bovengrens 2 heeft. Daarvoor moet je wat van goniometrie gebruiken, waarden van de cosinus kennen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 21:07

Ja, dat had ik hierboven ook al geconcludeerd; maar ik zou niet onmiddelijk weten hoe ik dit aan toon.
Op de goniometrische cirkel is het eenvoudig om te zien dat LaTeX LaTeX indien LaTeX LaTeX

Maar ik zou niet weten hoe ik dit effectief moet aantonen.
De assistent had wel de volgende hint gegeven:

"schrijf tan a LaTeX en tan b LaTeX ."

Dit is natuurlijk een triviale formulering van de tangens, ik vraag me echter ook af waarom deze hint hier is gegeven; weet u dat ?

Veranderd door Biesmansss, 21 mei 2012 - 21:10

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 21:10

Nee, lijkt me ook niet nodig. Misschien een andere weg... Meerdere wegen leiden naar Rome.

Even een korte redenering: cosinus is dalend op [0,pi/2], bereikt dus zijn minimum op het interval [0,pi/4] in x = pi/4. Uit symmetrie (even functie) is cos(pi/4) dus ook de ondergrens van cos(x) op [-pi/4,pi/4], dan kwadrateren naar cos²x en omkeren voor sec²x.

Het is ook maar de vraag 'hoe ver' je moet teruggaan in alles aan te tonen. Je gaat hiervoor niet alle eigenschappen voor de cosinus opnieuw moeten afleiden he...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2012 - 21:30

Klopt, dit lijkt me wel voldoende.
Bedankt voor de hulp! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 mei 2012 - 21:58

Oké, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures