Springen naar inhoud

Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x + ax + b = 0



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 09:08

"Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies één x ∈ R bestaat waarvoor
x3 + ax + b = 0."

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kies een willekeurige v ∈ R.
Zij (Xk) k ∈ N een willekeurige rij die naar deze v convergeert, dan bestaat er een k1 zodat |Xk - v| < ɛ.

Om aan te tonen dat f(x) = x3 + ax + b continue is volstaat het om aan te tonen dat voor elke rij die naar v convergeert, de beeldrij ook naar f(v) convergeert.

|(Xk)3 + a(Xk) + b - v3 - av -b|

= |(Xk)3 - v3 + a((Xk) - v)| ≤ |(Xk)3 - v3| + a|Xk - v|

(Maar hoe bewijs ik nu verder dat deze functie continu is ?)

We weten dat

Lim x -> +00 f(x) = +oo

Lim x -> -00 f(x) = -oo

Wanneer we de tussenwaardestelling hierop toepassen weten we dat er voor elke y tussen ]-00, + oo[ een overeenkostige x-waarde bestaat, hieruit volgt dat de functie minstens één nulpunt heeft.

Nu kunnen we via een bewijs uit het ongerijmde aantonen dat dit er hoogstens 1 kan zijn.

Stel dat er 2 x-waardes bestaan waarvoor f(x) = 0, noem ze x1 en x2. Dan weten we d.m.v.de middelwaarde stelling van Rolle dat er een c ∈ ]x1, x2[ bestaat zodat:

LaTeX

Aangezien a > 0, is het niet mogelijk om van deze functie een nulpunt te vinden. Hieruit volgt dat f(x) hoogstens in nulpunt kan hebben.


Zou iemand dit bewijs eens willen nakijken en me verder willen helpen bij het rode deel.

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 09:28

Kies een willekeurige LaTeX


Zij LaTeX een willekeurige rij die naar deze LaTeX convergeert, dan bestaat er een LaTeX zodat LaTeX

Om aan te tonen dat LaTeX continu is volstaat het om aan te tonen dat voor elke rij die naar LaTeX convergeert, de beeldrij ook naar LaTeX convergeert.

LaTeX

(Maar hoe bewijs ik nu verder dat deze functie continu is ?)


Je kan gebruik maken van het merkwaardig product:
LaTeX

Je zal dan nog een afschatting moeten maken, hiervoor zou ik gebruik maken van het feit dat elke convergente rij begrensd is.

Veranderd door Siron, 23 mei 2012 - 09:29


#3

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 10:26

Ik heb het overigens ook gewoon algebraïsch (via de hoodstelling van de Algebra) kunnen bewijzen.
Voordeel is dat dan het: "al of niet continue zijn" niet meer ter zake doet.

Het stond er niet in de opgave bij maar het lijkt er op dat het persé analytisch moet.
Misschien is het handig dat wel te vermelden.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 13:33

Je kan gebruik maken van het merkwaardig product:
LaTeX



Je zal dan nog een afschatting moeten maken, hiervoor zou ik gebruik maken van het feit dat elke convergente rij begrensd is.


Maar dan zit ik toch ook nog verveeld met die:

a2 + ab + b2 = (a +b)2 = (a+b).(a+b)

Maar dan zit ik met +-tekens i.p.v. - tekens, of zie ik iets over het hoofd ?

Ik heb het overigens ook gewoon algebraïsch (via de hoodstelling van de Algebra) kunnen bewijzen.
Voordeel is dat dan het: "al of niet continue zijn" niet meer ter zake doet.

Het stond er niet in de opgave bij maar het lijkt er op dat het persé analytisch moet.
Misschien is het handig dat wel te vermelden.


Aangezien ik niet wist dat het ook mogelijk is om deze oefening algebraïsch op te lossen, vermeld ik dat er uiteraard ook niet bij. :D Maar om dus onduidelijkheid te voorkomen, het is inderdaad te bedoeling dat ze analytisch wordt opgelost.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 13:43

Maar dan zit ik toch ook nog verveeld met die:

a2 + ab + b2 = (a +b)2 = (a+b).(a+b)

Maar dan zit ik met +-tekens i.p.v. - tekens, of zie ik iets over het hoofd ?



Aangezien ik niet wist dat het ook mogelijk is om deze oefening algebraïsch op te lossen, vermeld ik dat er uiteraard ook niet bij. :D Maar om dus onduidelijkheid te voorkomen, het is inderdaad te bedoeling dat ze analytisch wordt opgelost.


Voor het eerste zie je over het hoofd dat er ab staat en niet 2ab

------------------

Het tweede is jammer voor mij, ik geef nml. meestal aan de algbraïsche de voorkeur.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 mei 2012 - 09:09

Om aan te tonen dat f(x) = x3 + ax + b continue is volstaat het om aan te tonen dat voor elke rij die naar v convergeert, de beeldrij ook naar f(v) convergeert.


Waarom bewijs je dat deze functie continu is? Dat weet je toch van i(x)=x (waarom?), en waarom geldt dat dan ook voor f.

Veranderd door Safe, 25 mei 2012 - 09:10


#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 09:20

Waarom bewijs je dat deze functie continu is? Dat weet je toch van i(x)=x (waarom?), en waarom geldt dat dan ook voor f.


Wat bedoel je nu net met i(x) = x ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2012 - 09:55

Wat bedoel je nu net met i(x) = x ?

Hij bedoelt dat je met de rekenregels van continuïteit al kan bewijzen dat f continu is, het wiel opnieuw uitvinden is dus op zich niet nodig.
Quitters never win and winners never quit.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 mei 2012 - 10:06

Wat bedoel je nu net met i(x) = x ?

Er staat dat je aan x, x toevoegt ofwel je voegt aan een element hetzelfde element toe. We zijn gewend om dat de identieke functie te noemen.

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 10:06

Hij bedoelt dat je met de rekenregels van continuïteit al kan bewijzen dat f continu is, het wiel opnieuw uitvinden is dus op zich niet nodig.


Welke rekenregels van continuïteit zou u daar dan op toepassen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 27 mei 2012 - 18:05

De rekenregels voor som en product van continue functies.

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 08:32

Juist, dan kunnen we dit best opsplitsen in x3 en ax + b.
Van deze functies kunnen we aantonen dat ze continu zijn (eventueel x3 nog opsplitsen in x.x.x ?).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 mei 2012 - 08:36

Dat kun je doen, en dan de continuïteit van product gebruiken. Hangt er maar vanaf wat je al weet. Je kunt nu evengoed algemeen bewijzen dat elke polynoom, van graad n, continu is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 09:25

Dat kun je doen, en dan de continuïteit van product gebruiken. Hangt er maar vanaf wat je al weet. Je kunt nu evengoed algemeen bewijzen dat elke polynoom, van graad n, continu is.


Wat is een polynoom juist ? Een veelterm in de vorm van xn + ax + b ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#15

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 mei 2012 - 09:37

Sorry. Een polynoom is gewoon een veelterm in zijn meest algemene vorm.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures