Springen naar inhoud

Bewijs i.v.m. homogene stelsels



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 10:26

De manier waarop ik de volgende 3 proposities bewijs is mijn ogen heel eenvoudig, misschien zelfs te eenvoudig; vandaar dat ik hier bevestiging zou willen krijgen of mijn manier al dan niet goed is.

"Veronderstel dat X1 en X2 oplossingen zijn van een homogeen stelsel en dat
a1, a2 ∈ R. Dan is a1.X1 + a2.X2 ook een oplossing van dat stelsel, m.a.w. lineaire combinaties van oplossingen zijn opnieuw een oplossing. Het aantal oplossingen van een homogeen stels is ofwel één ofwel oneindig."


We weten dat:

A.X1 = 0
A.X2 = 0

Hieruit volgt:

A(a1.X1 + a2.X2) = a1.A.X1 + a2.A.X2 = a1.0 + a2.0 = 0

Veronderstel nu dat een homogeen stelsel een oplossing heeft, verschillend van 0. We weten dat:

A(a1.X) = a1.A.X = a1.0 = 0 (met a1 ∈ R). Omdat x ≠ 0 kunnen hiermee oneindig veel oplossingen gemaakt worden.

"Veronderstel dat X1 en X2 oplossingen zijn van een niet-homogeen stelsel AX = B. Dan is
X1 - X2 een oplossingen van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0."


We weten dat

A.X1 = B
A.X2 = B

A(X1 - X2) = A.X1 - A.X2 = B - B = 0

Dus 'X1 - X2' is een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0

"Als Xp één particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel AX = B is, dan is elke andere oplossing van dat stelsel van de vorm:

X = Xp + Xh

Waarbij Xh een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 is."

We weten dat:

A.Xp = B
A.Xh = 0

Uit het bewijs hierboven volgt dat:

A(Xp + Xh) = A.Xp + A.Xh = 0 + B

met x = Xp + Xh

Veranderd door Biesmansss, 23 mei 2012 - 10:38

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 mei 2012 - 10:34

Voor de volledigheid (voor het stuk 'één of oneindig veel oplossingen'), de nuloplossing is altijd een oplossing van een homogeen stelsel; dus er is zeker één oplossing. Als er daarnaast een tweede (dus niet-nulle) oplossing is, dan ... (jouw vervolg).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 10:40

Voor de volledigheid (voor het stuk 'één of oneindig veel oplossingen'), de nuloplossing is altijd een oplossing van een homogeen stelsel; dus er is zeker één oplossing. Als er daarnaast een tweede (dus niet-nulle) oplossing is, dan ... (jouw vervolg).


Ja klopt, maar het kan dus werkelijk zo eenvoudig ? Zou u dan ook even willen kijken naar de andere 2 bewijzen hieronder (ik heb deze na uw reactie pas toegevoegd).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 mei 2012 - 10:46

"Als Xp één particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel AX = B is, dan is elke andere oplossing van dat stelsel van de vorm:

X = Xp + Xh

Waarbij Xh een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 is."

We weten dat:

A.Xp = B
A.Xh = 0

Uit het bewijs hierboven volgt dat:

A(Xp + Xh) = A.Xp + A.Xh = 0 + B

met x = Xp + Xh


Tenzij je het anders bedoelt, heb ik het gevoel dat je toont dat Xp+Xh een oplossing is. Maar je wil tonen dat elke oplossing X te schrijven is als Xp+Xh...?

Je kan X altijd schrijven als X-Xp+Xp, waaraan is X-Xp gelijk?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 11:02

Ik zou zeggen
X - Xp = Xh

Maar dit mag ik zo toch niet gebruiken, want dan ga ik toch uit van het te bewijzen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 mei 2012 - 11:57

Hoezo? Je moet tonen dat elke oplossing X te schrijven is als Xp+Xh, gegeven dat er minstens één Xp bestaat en dat Xh een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel is.

Wel, veronderstel dat X een oplossing is, dan is X = X-Xp+Xp = ... + Xp en dus geschreven als ... Je kan hiervoor steunen op een vorige propositie, want je weet intussen al dat als X en Xp oplossingen zijn, dan is hun verschil ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 12:41

Veronderstel dat X een oplossing is, dan is X = X - Xp + Xp. (1)
Als X en Xp oplossingen zijn, dan is hun verschil gelijk aan Xh. We weten dus dat:
X - Xp = Xh

Wanneer we dit invullen in (1) bekomen we:
X = Xh + Xp

Waardoor het bovenstaande bewezen is.

Zo dan ?

Hoe toon ik trouwens aan dat:

"Het aantal oplossingen van een niet-homogeen stelsel is ofwel nul, ofwel één, ofwel oneindig."
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 mei 2012 - 15:17

Zoiets, ja. Vermits X te schrijven is als X-Xp+Xp en X-Xp oplossing is van het geassocieerde homogene stelsel (eerder bewezen)...

Hoe toon ik trouwens aan dat:

"Het aantal oplossingen van een niet-homogeen stelsel is ofwel nul, ofwel één, ofwel oneindig."


Het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 van een stelsel AX = B heeft één (de nuloplossing) of oneindig veel oplossingen (eerder bewezen). Als AX = B minstens één oplossing heeft, noem deze Xp, dan volgt uit voorgaande stellingen dat ... en zo heb je ook de gevallen één en oneindig veel oplossingen. Maar als AX = B strijdig is, is er niet eens zo'n Xp...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 mei 2012 - 16:55

Juist, zo moet het lukken.

Dus het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 van een stelsel AX = B heeft één (de nul-oplossing) of oneindig veel oplossingen. Als AX = B minstens één oplossing heeft, noem deze Xp, dan volgt uit voorgaande stelling dat de andere oplossingen van de vorm X = Xh + Xp zijn, zo heb je de gevallen één of oneindigveel oplossingen (al naargelang het aantal oplossingen van het geassocieerde homogene stelsel); maar als AX = B strijdig is, is er niet eens zo'n Xp en dus zijn er ook geen andere oplossingen in de vorm van X = Xh + Xp (m.a.w. het stelsel AX = B heeft geen oplossingen).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures