Springen naar inhoud

Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 07:27

Er wordt gevraagd om de volgende 7 puntjes te bewijzen.Ik vermoed dat het eenvoudig en korte bewijzen zijn, maar weet niet goed hoe hieraan te beginnen. Het zijn wel twee afzonderlijke delen, de eerste 3 (nl. a, b en c) kan je afzonderlijk bewijzen; de laatste 4 (nl. 1, 2, 3 en 4) moet je bewijzen op bv. volgende manier (1) => (2) en (2) => (1).

Zij A, B ∈ Rn x n. Dan geldt:

(a) Als A en B inverteerbaar zijn, dan is ook AB inverteerbaar en (AB)-1 = B-1.A-1.

(b) Als A inverteerbaar is, dan is ook At inverteerbaar en (At)-1 = (A-1)t.

© Als A inverteerbaar is, dan is ook A-1 inverteerbaar en (A-1)-1 = A.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zij A ∈ Rn x n. Volgende uitspraken zijn equivalent

(1) A is inverteerbaar.

(2) A is rechts-inverteerbaar, d.w.z. er bestaat een B ∈ Rn x n zodat A.B = 1n. *

(3) A is links-inverteerbaar, d.w.z. er bestaat een B ∈ Rn x n zodat B.A = 1n. *

(4) rang(A) = n.


(* 1n LaTeX eenheidsmatrix)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2012 - 08:10

Bewijzen dat de inverse gelijk is aan B-1A-1 is vrij triviaal: vul in en zie dat ie werkt. Uiteraard kan je het ook echt bewijzen. Voor het eerste deel: hoe toon je inverteerbaar aan? Dezelfde opmerkingen gelden voor b en c.

Dan ivm je implicaties: een kortere manier is alvast gewoon volgende rij bewijzen: (1) => (2) => (3) => (4) => (1). Dan heb je eigenlijk, bijvoorbeeld, ook dat (3) => (1) etcetera.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:02

Bewijzen dat de inverse gelijk is aan B-1A-1 is vrij triviaal: vul in en zie dat ie werkt. Uiteraard kan je het ook echt bewijzen. Voor het eerste deel: hoe toon je inverteerbaar aan? Dezelfde opmerkingen gelden voor b en c. Dan ivm je implicaties: een kortere manier is alvast gewoon volgende rij bewijzen: (1) => (2) => (3) => (4) => (1). Dan heb je eigenlijk, bijvoorbeeld, ook dat (3) => (1) etcetera.


Hoe tonen we inverteerbaar aan.. wel we weten dat dan A.A-1 = 1n = A-1.A.

Maar hoe tonen we dit effectief aan ?

Ja, voor de kortere manier staat in mijn cursus de volgende weg: (1) => (3) => (4) => (2) => (1). Heeft de keuze van de 'weg' enige relevantie in dit specifieke geval ? M.a.w. is deze keuze het makkelijkste van 'weg' het makkelijkste te bewijzen ?

Veranderd door Biesmansss, 25 mei 2012 - 15:03

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:06

Dat is inderdaad de gemakkelijkste weg van bewijzen. Maar in se leidt elke weg naar het juiste resultaat...

En welke definitie van inverteerbaar heb je?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:11

De definitie van inverteerbaar die ik heb komt, volgens mij, in se neer op wat ik net heb gezegd, nl.:

"We noemen een matrix A ∈ Rn x n inverteerbaar of regulier als er een B ∈ Rn x n bestaat zodat A.B = 1n = B.A. Indien A niet inverteerbaar is, noemt men a singulier."

"Zij A ∈ Rn x n een inverteerbare matrix. Dan is er slechts één B ∈ Rn x n waarvoor A.B = 1n = B.A."
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:13

Okee :). Dan heb je hierboven eigenlijk het bewijs al gegeven :P. Je kandidaat heb je al; je bewijst dat die werkt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:25

(1) (A.A-1).(B.B-1) = 1n.1n = (A.B).(A.B)-1

Zo iets ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:28

Nee. Nu gebruik je zaken Die niet kloppen. Allé, wel kloppen, maar niet in 1 vergelijking ;). Is wat links staat, in se, hetzelfde als wat rechts staat? Gewoon gedacht met matrixvermenigvuldiging dus.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:41

Nee, daarom dat ik ook vast zit; want matrices zijn niet commutatief. Hoe los ik dit op ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2012 - 15:46

Wat ik reeds zei: je hebt een kandidaat inverse voor, bijvoorbeeld, BA, namelijk A-1B-1. Toon dat die werkt, en je bent klaar.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 16:34

Ik kan dit dus doen voor bv.

A=

|A B|
|C D|

B=

|E F|
|G H|

Hier bereken ik dan de inverse van en dan kijk ik of (A.B)-1 = B-1.A-1 (de uitwerking geef ik hier niet helemaal).

Maar dit is dan enkel voor 2x2 en toch niet voor algemene ? Mag ik dan gewoon concluderen dat dit ook voor algemene klopt ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2012 - 16:37

Dat kan eenvoudiger hoor :). Je ziet in dat BA(A-1B-1) = I = (A-1B-1​) BA? Dus betekent dit dat BA inverteerbaar is met inverse (A-1B-1​). Maar nu geldt, per definitie dat de inverse van BA gelijk is aan (BA)-1. Wegens uniciteit van de inverse besluit je dat ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 16:43

Aha, ja omdat als de inverse bestaat, deze dan uniek is kunnen we besluiten dat (AB)-1 = A-1.B-1.

Maar waarom mogen we besluiten dat BA(A-1B-1) = I = (A-1B-1​) BA ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2012 - 16:46

Kun je inzien dat (BA)(A-1B-1​) = B(AA-1)B-1​?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2012 - 16:48

Kun je inzien dat (BA)(A-1B-1​) = B(AA-1)B-1​?


Uhu, dus:

(BA)(A-1B-1​) = B(AA-1)B-1​ = B.1n.B-1 = B.B-1 = 1n
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures