[wiskunde] Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Er wordt gevraagd om de volgende 7 puntjes te bewijzen.Ik vermoed dat het eenvoudig en korte bewijzen zijn, maar weet niet goed hoe hieraan te beginnen. Het zijn wel twee afzonderlijke delen, de eerste 3 (nl. a, b en c) kan je afzonderlijk bewijzen; de laatste 4 (nl. 1, 2, 3 en 4) moet je bewijzen op bv. volgende manier (1) => (2) en (2) => (1).

Zij A, B ∈ Rn x n. Dan geldt:

(a) Als A en B inverteerbaar zijn, dan is ook AB inverteerbaar en (AB)-1 = B-1.A-1.

(b) Als A inverteerbaar is, dan is ook At inverteerbaar en (At)-1 = (A-1)t.

(c) Als A inverteerbaar is, dan is ook A-1 inverteerbaar en (A-1)-1 = A.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zij A ∈ Rn xn. Volgende uitspraken zijn equivalent

(1) A is inverteerbaar.

(2) A is rechts-inverteerbaar, d.w.z. er bestaat een B ∈ Rn x n zodat A.B = 1n. *

(3) A is links-inverteerbaar, d.w.z. er bestaat een B ∈ Rn x n zodat B.A = 1n. *

(4) rang(A) = n.

(* 1n
\( \to \)
eenheidsmatrix)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Bewijzen dat de inverse gelijk is aan B-1A-1 is vrij triviaal: vul in en zie dat ie werkt. Uiteraard kan je het ook echt bewijzen. Voor het eerste deel: hoe toon je inverteerbaar aan? Dezelfde opmerkingen gelden voor b en c.

Dan ivm je implicaties: een kortere manier is alvast gewoon volgende rij bewijzen: (1) => (2) => (3) => (4) => (1). Dan heb je eigenlijk, bijvoorbeeld, ook dat (3) => (1) etcetera.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Bewijzen dat de inverse gelijk is aan B-1A-1 is vrij triviaal: vul in en zie dat ie werkt. Uiteraard kan je het ook echt bewijzen. Voor het eerste deel: hoe toon je inverteerbaar aan? Dezelfde opmerkingen gelden voor b en c. Dan ivm je implicaties: een kortere manier is alvast gewoon volgende rij bewijzen: (1) => (2) => (3) => (4) => (1). Dan heb je eigenlijk, bijvoorbeeld, ook dat (3) => (1) etcetera.
Hoe tonen we inverteerbaar aan.. wel we weten dat dan A.A-1 = 1n = A-1.A.

Maar hoe tonen we dit effectief aan ?

Ja, voor de kortere manier staat in mijn cursus de volgende weg: (1) => (3) => (4) => (2) => (1). Heeft de keuze van de 'weg' enige relevantie in dit specifieke geval ? M.a.w. is deze keuze het makkelijkste van 'weg' het makkelijkste te bewijzen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Dat is inderdaad de gemakkelijkste weg van bewijzen. Maar in se leidt elke weg naar het juiste resultaat...

En welke definitie van inverteerbaar heb je?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

De definitie van inverteerbaar die ik heb komt, volgens mij, in se neer op wat ik net heb gezegd, nl.:

"We noemen een matrix A ∈ Rn x n inverteerbaar of regulier als er een B ∈ Rn x n bestaat zodat A.B = 1n = B.A. Indien A niet inverteerbaar is, noemt men a singulier."

"Zij A ∈ Rn x n een inverteerbare matrix. Dan is er slechts één B ∈ Rn x n waarvoor A.B = 1n = B.A."
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Okee :) . Dan heb je hierboven eigenlijk het bewijs al gegeven :P . Je kandidaat heb je al; je bewijst dat die werkt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

(1) (A.A-1).(B.B-1) = 1n.1n = (A.B).(A.B)-1

Zo iets ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Nee. Nu gebruik je zaken Die niet kloppen. Allé, wel kloppen, maar niet in 1 vergelijking ;) . Is wat links staat, in se, hetzelfde als wat rechts staat? Gewoon gedacht met matrixvermenigvuldiging dus.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Nee, daarom dat ik ook vast zit; want matrices zijn niet commutatief. Hoe los ik dit op ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Wat ik reeds zei: je hebt een kandidaat inverse voor, bijvoorbeeld, BA, namelijk A-1B-1. Toon dat die werkt, en je bent klaar.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Ik kan dit dus doen voor bv.

A=



|A B|

|C D|

B=

|E F|

|G H|

Hier bereken ik dan de inverse van en dan kijk ik of (A.B)-1 = B-1.A-1 (de uitwerking geef ik hier niet helemaal).

Maar dit is dan enkel voor 2x2 en toch niet voor algemene ? Mag ik dan gewoon concluderen dat dit ook voor algemene klopt ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Dat kan eenvoudiger hoor :) . Je ziet in dat BA(A-1B-1) = I = (A-1B-1​) BA? Dus betekent dit dat BA inverteerbaar is met inverse (A-1B-1​). Maar nu geldt, per definitie dat de inverse van BA gelijk is aan (BA)-1. Wegens uniciteit van de inverse besluit je dat ...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Aha, ja omdat als de inverse bestaat, deze dan uniek is kunnen we besluiten dat (AB)-1 = A-1.B-1.

Maar waarom mogen we besluiten dat BA(A-1B-1) = I = (A-1B-1​) BA ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Kun je inzien dat (BA)(A-1B-1​) = B(AA-1)B-1​?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bewijzen i.v.m. inverteerbare matrices

Drieske schreef: vr 25 mei 2012, 17:46
Kun je inzien dat (BA)(A-1B-1​) = B(AA-1)B-1​?
Uhu, dus:

(BA)(A-1B-1​) = B(AA-1)B-1​ = B.1n.B-1 = B.B-1 = 1n
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Reageer