Springen naar inhoud

Bewijs Det(1n) = 1



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 11:58

Hoe toon ik aan dat:
Det(1n) = 1 ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2012 - 12:26

Een mogelijkheid: inductie. Maar dan moet je kunnen ontwikkelen naar een rij/kolom. Kun je dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 13:53

Yup, dat ken ik. :D
Hoe gebruik je dat hier ?
Je hebt dus elementen ai,j en op elk i-de element van de rij i-de rij staat een 1 en de andere elementen zijn nullen.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2012 - 14:02

Als je naar de eerste rij ontwikkelt, is je eerste term 1 en al de rest 0. Nu moet je nog weten welke matrix er bij die 1 staat. Zie je dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 14:06

Ja daar staat altijd een 2 x 2 matrix in echelon vorm uiteindelijk waarvan de determinant dus gelijk is aan 1.
Uiteindelijk krijg je dan gewoon 1.1. ... . 1. det A (waarbij A een 2 x 2 matrix in echelon vorm is) = 1.
Maar hoe schrijf je dit netjes formeel op met behulp van inductie.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2012 - 14:08

Waarom zou je naar 2x2 matrices gaan :?? Dan gooi je de kracht van inductie weg! Je hebt een nxn-matrix waar je iets over wilt zeggen. Je weet iets over de (n-1)x(n-1)-matrix. Daar wil je naartoe werken door eenmaal te rij-ontwikkelen. Snap je?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 14:23

Dus als ik het goed begrijp moet de structuur 'hetzelfde' zijn als bij een 'gewoon' inductie-bewijs; maar moeten we dan niet beginnen met:

1) Het is meteen duidelijk dat de determinant voor een (2 x 2)-matrix in echelon vorm gelijk is aan 1.

2) Veronderstel dat Det(1n) = 1 geldt voor een (n - 1) X (n - 1)-matrix met (n ≥ 3)

Nu moeten we aantonen dat het dan ook geldt voor n x n.

Akkoord ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2012 - 14:37

Ja, wat ik gaf, was uiteraard geen bewijs ofzo hè ;). Ik gaf je het idee, maar de details inderdaad niet. Inductie maakt altijd gebruik van een basisstap enzo. Twee zaken: de basisstap is hier niet n = 2, maar n = 1. Die n in In staat traditioneel voor de dimensie. Dus moet je, als je over (n-1)x(n-1) praat, schrijven In-1. Detail uiteraard, maar toch.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 14:50

Zoals we al in één van de vorige topics gezegd hebben: "juist is juist eh". :D
Maar er valt wel over te discuteren of de eerste stap n = 2 of n = 1 moet zijn, want een (1 x 1)-matrice is gewoon een getal en hierbij heeft de determinant relatief weinig tot geen betekenis.

Voor de rest lijkt het me wel een eenvoudig bewijs nu:

2) Veronderstel dat Det(1n - 1) = 1

Wanneer we nu de Det(1n) bepalen weten we dat deze gelijk is aan

1.det(A1,1) - 0.det(A1,2) + ... + (-1)n + 1. 0.det(A1,n)

We weten dat A1,1 gelijk is aan 1n -1, dus we krijgen uiteindelijk:

1.1 = 1

Waardoor het bovenstaande bewezen is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2012 - 14:57

Het is inderdaad een vrij triviaal bewijs uiteindelijk. En ik weet niet wat jouw definitie is, maar in se houdt alles nog steek hoor voor 1x1-matrices. Voordeel daarvan is dat je basisstap normaal altijd een nog grotere trivialiteit wordt.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2012 - 15:03

Goed. Nogmaals bedankt voor de hulp Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2012 - 15:04

Graag gedaan! Succes nog.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures