Springen naar inhoud

Voorbeeld vectorruimten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 10:45

"Zij R[X] de verzameling van alle veeltermen in X met reële coëfficiënten. We beschouwen op R[X] de gewone bewerkingen. Dan is (R, R[X], +) een vectorruimte.

Zij R[X]n de verzameling van alle veeltermen in X met graad hoogstens n en met reële coëfficiënten. Dan is ook (R, R[X]n, +) een vectorruimte. Merk op dat de verzameling van de veeltermen met graad precies gelijk aan n geen vectorruimte is. Kun je ook vaststellen waarom ?"

Kan iemand helpen deze voorbeelden wat te verduidelijken ? Ik vraag mij vooral af hoe ik de notatie van bv. (R, R[X], +) moet opvatten.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 mei 2012 - 10:51

Wat ze bedoelen met dit voorbeeld is het volgende: elementen uit R[X] zijn je zogenaamde vectoren (stel je dit niet per se te hard letterlijk voor, hier zijn het functies). Zoals je weet kun je vectoren optellen. Met "+" geef je aan dat je ook écht optelt. In theorie kon daar ook "*" of "o" gestaan hebben (in theorie! of dat werkt en zinvol is, laat ik in het midden). Nu nog het eerste, dat geeft aan dat de coëfficiënten die je voor je vectoren schrijft in R zitten. Helpt dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 11:43

Dus voor het eerste wil dit zeggen dat wanneer we optellingen uitvoeren op vectoren met reële coëfficiënten dat we dan terug een vectorruimte bekomen ?

Maar bij de voorbeelden staat ook gewoon:

(R, R, +)

Wat bedoelen ze dan hier juist mee ?

Veranderd door Biesmansss, 28 mei 2012 - 11:45

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 mei 2012 - 11:53

Dus voor het eerste wil dit zeggen dat wanneer we optellingen uitvoeren op vectoren met reële coëfficiënten dat we dan terug een vectorruimte bekomen ?

Ik snap niet wat je hier bedoelt... Je vectoren zijn functies hè.

(R, R, +)

Wat bedoelen ze dan hier juist mee ?

Probeer eens een uitleg te geven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 12:00

Ik snap niet wat je hier bedoelt... Je vectoren zijn functies hè.


Ik bedoelde inderdaad functies i.p.v. vectoren.

Probeer eens een uitleg te geven?


Wel, ik zou zeggen dat:

De eerste R staat ervoor dat we gaan vermenigvuldigen met reële getallen
Het sommatieteken staat ervoor dat we ook optellingen gaan uitvoeren
De tweede R staat ervoor wat we gaan optellen (nl reeële getallen) en wat we met de eerste R gaan vermenigvuldigen.

Omdat we hier met (R, R, +) zitten is het misschien moeilijk om zo over te brengen wat ik net bedoel.
Stel nu gewoon (R, f, +)

f is een verzameling van functies f: R -> R
Ik zou zeggen dat dit wilt zeggen dat we van de functies veelvouden gaan nemen en deze functies ook bij elkaar gaan optellen.

Veranderd door Biesmansss, 28 mei 2012 - 12:01

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 12:22

Een vectorruimte is een wiskundige structuur die bestaat uit:
- een verzameling V waarvan je de elementen vectoren noemt,
- een verzameling K van getallen (een veld/lichaam),
- twee bewerkingen tussen deze elementen:
-- een som van vectoren tussen elementen van V,
-- een scalaire vermenigvuldiging van elementen uit K met elementen uit V.

De 'spelregels' voor deze bewerkingen en deze elementen liggen vast, je kan dit zien als een aantal axioma's van een vectorruimte. Die staan waarschijnlijk in je cursus.

Neem bijvoorbeeld V = R² en K = R en je hebt de 'gewone' vectoren in het vlak met de scalaire vermenigvuldiging:
- (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
- k(a,b) = (ka,kb)

Voor K kan je bijvoorbeeld ook Q kiezen in plaats van R, of C.

De verzameling V van vectoren kan vanalles zijn: de reële getallen zelf, Rn, de verzameling van veeltermen, de verzameling van veeltermen van ten hoogste graad n, de verzameling van continue functies op R, de verzameling van 2x2-matrices ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 12:49

Een vectorruimte is een wiskundige structuur die bestaat uit:
- een verzameling V waarvan je de elementen vectoren noemt,
- een verzameling K van getallen (een veld/lichaam),
- twee bewerkingen tussen deze elementen:
-- een som van vectoren tussen elementen van V,
-- een scalaire vermenigvuldiging van elementen uit K met elementen uit V.

De 'spelregels' voor deze bewerkingen en deze elementen liggen vast, je kan dit zien als een aantal axioma's van een vectorruimte. Die staan waarschijnlijk in je cursus.

Neem bijvoorbeeld V = R² en K = R en je hebt de 'gewone' vectoren in het vlak met de scalaire vermenigvuldiging:
- (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
- k(a,b) = (ka,kb)

Voor K kan je bijvoorbeeld ook Q kiezen in plaats van R, of C.

De verzameling V van vectoren kan vanalles zijn: de reële getallen zelf, Rn, de verzameling van veeltermen, de verzameling van veeltermen van ten hoogste graad n, de verzameling van continue functies op R, de verzameling van 2x2-matrices ...


Akkoord.
Nog snel even een klein extra vraagje:

Beschouw volgende deelverzamelingen van R2:

U1 = { (t, 2t) | t R}
U2 = { (t, t2) | t R}
U3 = { (t, 2t + 1) | t R}

Teken deze drie deelverzamelingen.

Hoe moet ik deze tekenen ? Hoe moet ik mij dit net voorstellen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 12:51

Je kan dit zien als krommen waarvan je een stelsel parametervergelijkingen hebt gekregen. In dit geval zijn die vrij eenvoudig, omdat de eerste component altijd de parameter t zelf is; je kan dus ook gemakkelijk overgaan naar een cartesische vergelijking y = f(x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 12:56

Dus eigenlijk mag je, voor U1, gewoon zeggen dat:

x = t
y = 2t

Dus dan krijgen we de kromme y = 2X ? zo dan ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 12:59

Klopt, de punten (t,2t) met t in R zijn precies de punten van R² die op de rechte y = 2x liggen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 13:22

En hoe toon ik, voor bv. U1, aan dat

A.u + B.u U1 (met A, B R)

En dat dit bij U2 en U3 niet geldt ? IK dacht eerst om dit gewoon te doen a.d.h.v. de vergelijkingen maar dan kom ik voor U2 praktisch hetzelfde soort oplossing uit als voor U1, dus mijn methode klopt niet. Volgens mij ga ik het te ver zoeken, want dit kan niet moeilijk zijn: maar ik zie het gewoon niet onmiddellijk. :shock:

Veranderd door Biesmansss, 28 mei 2012 - 13:23

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 13:25

En hoe toon ik, voor bv. U1, aan dat

A.u + B.u U1 (met A, B R)


Twee keer u...? Die tweede misschien v. Dus u en v in U1, A en B in R.

Met u in U1 bestaat er dus een t zodat u = (t,2t); met ook v in U2, er bestaat dus een s zodat v = (s,2s).

Bepaal nu Au+Bv, zit dat terug in U1?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 13:40

Twee keer u...? Die tweede misschien v. Dus u en v in U1, A en B in R.

Met u in U1 bestaat er dus een t zodat u = (t,2t); met ook v in U2, er bestaat dus een s zodat v = (s,2s).

Bepaal nu Au+Bv, zit dat terug in U1?


A.(t, 2t,) + B.(s, 2s) = (A.t, 2.A.t) + (B.s, 2.B.s)
= (A.t + B.s, 2.A.t + 2.B.s)

En nu ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2012 - 13:41

Wanneer zit een element (p,q) in U1? Als...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2012 - 13:42

Als het voldoet aan de verhouding (t, 2t) ?
Aha en hier is t gelijk aan (A.t + B.s)

Dus voldoet dit hieraan

Veranderd door Biesmansss, 28 mei 2012 - 13:43

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures